§7. 線積分複素平面上の曲線 C : z = z(t) = x(t) + iy(t) (a 5 t 5 b) • z(a) を曲線 C の始点，z(b) を曲線 C の終点という． • z(a) = z(b) のとき，C を閉曲線と呼ぶ． • z(b) を始点とし，z(a) を終点とする曲線を C : z = z(a + b C で表す1（逆向きの曲線）： t) (a 5 t 5 b) • Cj : z = zj (t) (aj 5 t 5 bj )：二つの曲線 (j = 1, 2)． z1 (b1 ) = z2 (a2 )（すなわち，C1 の終点 = C2 の始点）であるとき， C1 に C2 をつないだ曲線をシンボリックに C1 + C2 と表す： ( z1 (t) (a1 5 t 5 b1 ) C1 + C2 : z = z2 (a2 + t b1 ) (b1 5 t 5 b1 + b2 a2 ) すなわち，C1 が先にあって，それに C2 を継ぎ足す．C1 + C2 と C2 + C1 とは意味が違うので注意してほしい（交換法則が成り立たない：とくに閉曲線をつなぐとき）． • 3 個以上の曲線に対する C1 + · · · + Cr も同様に定義する（すなわち，左から順に継ぎ足していく）．定義 7.1 曲線 C : z = z(t) = x(t) + iy(t) がなめらか def () x(t), y(t) がともに C 1 級であって，各 t で z 0 (t) = 注意 7.2 p x0 (t)2 + y 0 (t)2 6= 0．なめらかな曲線とは，曲線上の各点で接線が確定する曲線のことである． • なめらかな曲線 C1 , . . . , Cr を順につないで，曲線 C が C := C1 + · · · + Cr の形で書けるとき，C は区分的になめらかであるという．以下，区分的になめらかな曲線のみを扱い，その場合一々断らないことにする． def • 単純な曲線 () 自分自身と交わらない曲線．すなわち， C : z = z(t) (a 5 t 5 b) が単純曲線 () a 5 t1 < t2 < b ならば z(t1 ) 6= z(t2 )． • 円周，三角形，長方形の周は明らかに単純閉曲線． • 円周，楕円，三角形，長方形の周等，内部が明らかな単純閉曲線の正の向き def () 内部を左に見る方向（円周ならば反時計回り）． 1教科書とは違って，この講義では加法的に書く． 1 曲線に沿う積分 f (z)：領域 D で定義された連続函数， C : z = z(t) (a 5 t 5 b) を D 内のなめらかな曲線とする．定義 7.3 Z f (z) dz := C Z a b f (z(t)) dz (t) dt. · · · · · · dt 1 （ C のことを積分路とよぶ．）ここで，w(c) = a，w(d) = b であるなめらかな函数 w で，t = w(⌧ ) (c 5 ⌧ 5 d) により，曲線 C が ⌧ でもパラメータ付けられているとき，すなわち， C : z = z1 (⌧ ) := z(w(⌧ )) dw d⌧ ゆえとも書けるとき，定義式 1 の右辺で t = w(⌧ ) と置換すると dt = d⌧ Z d Z d dz 1 の右辺 = f z(w(⌧ ) dz (w(⌧ )) dw (⌧ ) d⌧ = f (z1 (⌧ )) 1 (⌧ ) d⌧. dt d⌧ d⌧ c c これは 1 の右辺が曲線 C のパラメータ付けには依らない事を示している．さらに C が区分的になめらかで，C = C1 + · · · + Cr （各 Cj はなめらか）と書けているとき，曲線 CZを積分路とする線積分は Z f (z) dz := C C1 Z f (z) dz + · · · + f (z) dz Cr 線積分の基本的な性質は教科書の命題 3.3 参照．次の二つの性質のみ書いておく．命題 7.4 Z (1) f (z) dz = C Z f (z) dz ． C (2) C1 , C2 が区分的になめらかなとき， Z Z f (z) dz = C1 +C2 f (z) dz + C1 Z f (z) dz. C2 Z Z b C : z = z(t) (a 5 t 5 b) のとき， f (z) dz := f (z(t)) dz dt． dt C a Z Z b Z dz dt ゆえ，函数 f が恒等的に 1 のとき， dz = dz = 曲線 C の長さ． dt a C C 命題 7.5 Z Z f (z) dz 5 f (z) dz . C 証明 Z C f (z) dz = Rei✓ とおくと C 2 Z Z f (z) dz = R = e i✓ f (z) dz ( 実数) C C Z Z b ⇣ ⌘ dz i✓ i✓ = Re e f (z) dz = Re e f (z) dt dt C a Z b Z b dz i✓ 5 e f (z) dt = f (z(t)) dz dt. dt dt a a ⇤ • 線積分を定義通りに計算することは演習問題参照．一般に，線積分の値は積分路に依存することを確認しておくこと．例 7.6 C を円周 z c = r とする．すなわち， z(✓) = c + rei✓ (0 5 ✓ 5 2⇡) Z とする．このとき，In := (z c)n dz (n 2 Z) を計 r c C 算してみよう．dz = r iei✓ d✓ より 8 h i(n+1)✓ i2⇡ Z 2⇡ <rn+1 e =0 n+1 0 In = irn+1 ei(n+1)✓ d✓ = : 0 2⇡i C (n 6= 1) (n = 1) • 原始函数が存在する場合，線積分の計算は容易である．以下正確に述べよう． f (z)：領域 D で定義された連続函数． def F (z) が D における f (z) の原始函数 () F 0 (z) = f (z) (8z 2 D)．（既出） • 原始函数 F (z) は，定義により，正則である．定理 7.7 f (z)：領域 D で定義された連続函数，F (z)： Z D での f (z) の原始函数， C : z = z(t) (a 5 z 5 b)：D 内の曲線 =) f (z) dz = F (z(b)) F (z(a))． C d dz (t) ゆえ，証明分割して C 自身がなめらかとしてよい． F (z(t)) = f (z(t)) dt dt Z Z b Z b h i d F (z(t)) dt = F (z(t)) b . f (z) dz = f (z(t)) dz (t) dt = ⇤ dt a C a a dt 定理 7.7 は始点と終点のみで線積分の値が決まっている．これをもう少し掘り下げてみよう．以下 ↵, 2 C に対して，[ ↵, ]：↵ を出発してに達する線分による路． dz = したがって，C : z = t + (1 t)↵ (0 5 t 5 1) と表すと， ↵ ゆえ dt Z Z 1 f (z) dz = ( ↵) f t + (1 t)↵ dt. [ ↵, ] 0 3 命題 7.8 領域 D で連続な連続函数 f について，次は同値． Z (1) f (z) dz = 0 （C ：D 内の 8 閉曲線）． C (2) 8↵, Z 2 D について，D 内で ↵, を結ぶ任意の曲線 C について， f (z) dz C の値は ↵, のみで決まり，C に依らない． (3) 9F ：D で正則 s.t. F 0 (z) = f (z) (8z 2 D)．証明 (3))(1) 定理 7.7 による． (1))(2) ↵ から C1 への二つの曲線 C1 , C2 があるとき， C1 C : C1 + ( C2 ) は D 内の閉曲線 C2 Z↵ (1) より， f (z) dz C1 Z f (z) dz = C2 C2 ↵ Z f (z) dz = 0． C1 +( C2 ) (2))(3) 以下では，1 点 ↵0 2 D を固定する．8z 2 D と ↵0 を D 内の曲線 Cz で結 Z 2 んで，F (z) := f (w) dw とおく．仮定より，F (z) は路 Cz の取り方に依らない． Cz 8z0 2 D において F 0 (z0 ) = f (z0 ) となることを示そう． D とする．そして h < 0 0 > 0 をとって，D(z0 , 0 ) ⇢ のとき，Cz0 +h を Cz0 + [z0 , z0 + h] としても，↵0 と z0 + h を結ぶ D 内の路であることに変わりはない．仮定より Z Z Z F (z0 + h) = f (z) dz + f (z) dz = F (z0 ) + C z0 [ z0 , z0 +h ] Z F (z0 + h) F (z0 ) 1 ゆえに， f (z0 ) = f (w) h h [ z0 , z0 +h ] 8" > 0：given．f は z0 で連続であるから， 9 > 0 ( < 0 ) s.t. z z0 < =) f (z) よって， h < のとき， Z F (z0 + h) F (z0 ) 1 f (z0 ) 5 f (w) h h [ z0 , z0 +h ] f (z) dz. [ z0 , z0 +h ] f (z0 ) dw． f (z0 ) < ". f (z0 ) dz 5 ". ⇤ 例 7.6 を解釈しよう．(z c)n は，n = 0 のとき C 全体で，n 5 2 のとき (z c)n+1 D := C \ {c} で原始函数を持つので，In = 0 (n 6= 1)．一方，I 1 6= 0 は n+1 (z c) 1 が D で原始函数を持たないことを示す： log(z c) は D で 1 価正則ではない．注意 7.9 2座標軸に平行な線分で構成される折れ線で結べるので（演習問題参照），↵ なめらかな曲線は少なくとも 1 本は存在する． 4 と z を結ぶ区分的に