2．空間内のベクトルとその演算（p.5-6

線形代数学 (担当: 谷戸光昭)
5
空間内のベクトルとその演算
2
2.2
空間内の直線の方程式
( )
ベクトルは空間内においても考えることができる. ベ
クトルの等号, スカラー倍や加法の性質など, 1.2 節∼1.6
a
b
c
点 P0 (x0 , y0 , z0 ) を xyz 空間内の点とし, v =
を,
節の内容は空間内のベクトルについてもそのまま成り立
零ベクトルではない空間ベクトルとする. このとき, 点
つので, 説明は省略する.
P0 を通り, v と平行な直線 ℓ の方程式を求めよう.
言葉: v を直線 ℓ の方向ベクトルという.
2.1
空間ベクトル
O を原点とする xyz 空間内のベクトルを, 単に空間ベ
クトルという. 基本的な考え方は平面ベクトルのときと
ほぼ同じである.
−−→
a = AB とする.
−−→
点 P を直線 ℓ 上の任意の点とすると, P0 P = tv (t は
−−→
−−→ −−→
−−→
実数) と書ける. OP = OP0 + P0 P なので, a = OP0 ,
−−→
p = OP とおくと,
p = a + tv
ベクトル a の始点 A の座標が
(a1 , a2 , a3 ), 終点 B の座標が (b1 , b2 , b3 ) であるとする. こ
のとき, 点 A から点 B までの x 座標の変化量 b1 − a1 , y
座標の変化量 b2 − a2 , z 座標の変化量 b3 − a3 を縦に書き
と表せる (直線 ℓ のベクトル方程式). 空間ベクトルの成
( )
( )
( )
分表示 v =
並べたものを, ベクトル a の成分表示といい, 次のように
表す:
(
a=
b1 − a1
b2 − a2
b3 − a3
x
y
z
必要とする.
a, (b を
, 成分表示を用いて
) 2 つの空間ベクトルとし
( )
b1
b2
b3
a1
a2 , b =
a3
と表されているとする. このとき,
等号: a1 = b1 , a2 = b2 , a3 = b3 のときに限り, a = b.
また, スカラー倍・加法・減法・大きさ・内積は次のよう
(
スカラー倍: ka =
ka1
ka2
ka3
(
加法と減法: a + b =
( )
=
x0
y0
z0
x
y
z
を代入すると,
( )
a
+t b
c
となる. これを, 直線 ℓ の媒介変数表示といい, t を媒介
変数という. 連立方程式



x = x0 + at


y = y0 + bt



z = z + ct
0
ベクトルの等号は次のように言い換えられる.
になる.
x0
y0 , p =
z0
( )
)
このように, 空間ベクトルの成分表示には 3 つの成分を
a=
a
b ,a=
c
から t を消去すると, 以下のようになる (場合分けが必要
である).
• a ̸= 0, b ̸= 0, c ̸= 0 のとき, 直線の方程式は
)
y − y0
z − z0
x − x0
=
=
(= t)
a
b
c
)
a1 + b1
a2 + b2 , a − b =
a3 + b3
√
大きさ: |a| = a21 + a22 + a23
(
a 1 − b1
a 2 − b2
a 3 − b3
)
• a ̸= 0, b ̸= 0, c = 0 のとき, 直線の方程式は
x − x0
y − y0
=
( = t ),
a
b
z = z0
• a ̸= 0, b = 0, c = 0 のとき, 直線の方程式は
内積: (a, b) = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3
a と b が零ベクトルでなければ, 2 つのベクトルのなす
角 θ が定義される. このとき, 平面ベクトルのときと同様
y = y0 ,
z = z0
その他の場合も同様である.
に, 等式
(a, b) = |a| · |b| · cos θ
が成り立つ. そして, a と b が直交することと内積 (a, b)
が 0 になることとは同値である.
2.3
空間内の平面の方程式
( )
点 P0 (x0 , y0 , z0 ) を xyz 空間内の点とし, v =
a
b
c
を,
零ベクトルではない空間ベクトルとする. このとき, 点
P0 を通り, v と直交する平面 H の方程式を求めよう.
言葉: v を平面 H の法線ベクトルという.
6
−−→
点 P を平面 H 上の任意の点とすると, v と P0 P は直
2.5
交するので,
−−→
(v, P0 P ) = 0
−−→ −−→ −−→
−−→
−−→
である. P0 P = OP − OP0 なので, a = OP0 , p = OP と
おくと
平面と点との距離
xyz 空間内の平面 H : ax + by + cz = d と, 空間内の任
意の点 A(x0 , y0 , z0 ) を考える.
点 A から平面 H までの距離 D は, 次の式で与えられる:
D=
(v, p − a) = 0
と表せる (平面 H のベクトル方程式). 空間ベクトルの成
( )
( )
( )
分表示 v =
a
b ,a=
c
x0
y0 , p =
z0
x
y
z
を代入して内積
を計算すると,
a(x − x0 ) + b(y − y0 ) + c(z − z0 ) = 0
という式を得る. カッコを外して整理すれば, ax + by +
cz + d = 0, または ax + by + cz = d という形になる. こ
れを, 平面の方程式の一般形という.
例.
(
点 P0 (1, 4, 2) を通り, 法線ベクトルが v =
)
1
−2
3
の平面
の方程式を求める:
【証明】点 A から平面 H へ垂線を下ろし, その足を点
−−→
B(x1 , y1 , z1 ) とする. A から H までの距離 D とは, AB
−−→
の大きさ |AB| のことである. これを求めるために, 次の
内積の式を用いる:
−−→
−−→
(AB, v) = |AB| · |v| · cos θ
−−→
ただし, v は H の法線ベクトルで, θ は AB と v のなす
角とする.
計算に必要なデータを集めよう
( ) . まず H の方程式よ
a
−−→
り, 法線ベクトルは v = b である. さらに, AB =
(
x1 − x0
y1 − y0
z1 − z0
)
c
−−→
である. また, AB と v は平行なので, なす角
は θ = 0 または π (0◦ または 180◦ ) である. すなわち,
cos θ = 1 または −1.
1(x − 1) − 2(y − 4) + 3(z − 2) = 0
したがって,
x − 1 − 2y + 8 + 3z − 6 = 0
−−→
−−→
(AB, v)
|AB| =
|v| · cos θ
a(x1 − x0 ) + b(y1 − y0 ) + c(z1 − z0 )
√
=
a2 + b2 + c2 · (±1)
ax1 + by1 + cz1 − ax0 − by0 − cz0
√
=±
a2 + b2 + c2
∴ x − 2y + 3z + 1 = 0
( )
再確認: 平面 ax + by + cz + d = 0 の法線ベクトルは
|ax0 + by0 + cz0 − d|
√
a2 + b2 + c2
a
b
c
である.
［B は H 上の点なので, ax1 + by1 + cz1 = d を満たす］
2.4
平面の方程式のヘッセの標準形
d − ax0 − by0 − cz0
√
a2 + b2 + c2
|ax0 + by0 + cz0 − d|
√
=
a2 + b2 + c2
=±
注意: この節と次節では, ax + by + cz = d の形を採用
する.
xyz 空間内の平面 H : ax + by + cz = d を考える. ただ
し, d ̸= 0 とする. このとき, 両辺を法線ベクトルの大き
√
さ a2 + b2 + c2 で割り, 必要ならばさらに両辺を (−1)
倍して右辺の定数項を正にしたものを, 平面 H のヘッセ
の標準形という.
例. 平面 x + y + 2z = −5 のヘッセの標準形は,
1
2
5
1
−√ x − √ y − √ z = √
6
6
6
6
注意: 平面の方程式をヘッセの標準形で表したとき, 法線
ベクトルの大きさは 1 になっている.
となる. (証明終)
例.
|d|
原点から平面 H までの距離は, D = √
.
2
a + b2 + c2
d
特に, d ≧ 0 なら D = √
となり, これはヘッ
a2 + b2 + c2
セの標準形の右辺の定数項である. 例えば, 平面 x + y +
2z = −5 のヘッセの標準形は,
1
2
5
1
−√ x − √ y − √ z = √
6
6
6
6
5
なので, 原点からの距離は √ .
6
例.
点 A(x0 , y0 , z0 ) が平面 H 上にある場合は, ax0 + by0 +
|d − d|
cz0 = d なので, D = √
= 0.
2
a + b2 + c2

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