メジアン 4．関数とグラフ

メジアン　４．関数とグラフ
[四ﾒｼﾞCH4]2次関数の決定,2次関数の値,|x+2|+|y|=6の図
s　(ア)　-3　(イ)　6
右の図より　U m 2 - 2m - 4 =2
(1)　グラフが，x 軸と点 0 3，01 および 0 -1，01 で交わり，点 0 5，61 を通るような 2 次関
解説
両辺を 2 乗して　m 2 -2m -4=4
数を求めよ。
放物線 y =3x 2 +2ax + a を x 軸方向に a，y 軸方向に b だけ平行移動すると，その方程
2
よって　m 2 -2m -8=0
(2)　関数 f 0 x1 = x + ax + b (a，b は定数) において，f 0 11 =-6，f 0 31 =-4 であると
式は　y - b =30 x - a 1 +2a0 x - a 1 + a
き，f 0 51 の値を求めよ。
整理して　y =3x 2 -4ax+ a 2 + a + b
(3)　方程式 x +2 + y =6 の表す図をかけ。
この放物線は点 0 -2，0 1 で x 軸と接するから，y =30 x+ 2 1 2 すなわち y =3x 2 +12x +12
m =-2 のとき
と一致する。
x =-2 $ 2 すなわち　x =0 ，-4
1
3
s　(1)　y = x 2 - x - (2)　6　(3)
2
2
m =4 のとき
8
a
t　y =3x +2ax + a を変形すると　y =3 x +
3
2
-2 O
-8
x
4
-4
-6
8
この放物線の頂点は　点 -
2
a
a
，+a
3
3
9
2
a2
+a
3
9
これを x 軸方向に a，y 軸方向に b だけ平行移動すると，点 0 -2，0 1 に移るから
-
解説
a
a2
+ a =-2 ， + a + b =0
3
3
8
ア
(1)　グラフが x 軸と点 0 3，01 および点 0 -1，01 で交わることから，求める 2 次関数は
9
イ
これを解いて　a = -3 ，b = 6
y = a0 x -31 0 x +11 0 a ' 01
とおけて，更に点 0 5，61 を通ることから　6=12a　ゆえに　a =
t　x 2 -2mx +2m +4=0 の 2 つの解を a，b 0 a < b 1 とすると，解と係数の関係に
より　a + b =2m ，ab =2m +4 …… ①
グラフが x 軸から切り取る線分の長さは 4 であるから　b - a =4
両辺を 2 乗すると　0 b - a 1 2 =16
よって　0 a + b 1 2 -4ab =16
① より　0 2m 1 2 -40 2m +4 1 =16
整理して　m 2 -2m -8=0
すなわち　0 m +2 10 m -4 1 =0
これを解いて　m =-2 ，4
m =-2 のとき　x 2 +4x =0 すなわち　x0 x +4 1 =0
1
2
[四ﾒｼﾞ問25]放物線とx軸との共有点.x軸から切り取る線分の長さ"四メジアンⅠⅡＡＢ受北海道情報大#
よって　x =0 ，-4
1
1
3
よって，求める 2 次関数は　y = 0 x -31 0 x +11 = x 2 - x 2
2
2
2 次関数 y = x 2 -2mx +2m +4 のグラフと x 軸との共有点について，次の問いに答え
m =4 のとき　x 2 -8x +12=0 すなわち　0 x -2 10 x-6 1 =0
よ。ただし，m は定数とする。
よって　x =2 ，6
(2)　f 0 11 =-6 から　1+ a + b =-6
(1)　共有点をもつときの m の値の範囲を求めよ。
f 0 31 =-4 から　9+3a + b =-4
(2)　グラフの頂点の座標を求めよ。
ゆえに，a + b =-7，3a + b =-13 から　a =-3，b =-4
(3)　グラフが x 軸から切り取る線分の長さが 4 であるとき，m の値と共有点の x 座標を
よって　f 0 x1 = x 2 -3x -4　したがって　f 0 51 = 5 2 -3 ･ 5-4=6
求めよ。
y
(3)　[1]　x) -2，y) 0 のとき　x +2+ y =6
6
4
よって　y =-x +4
[2]　x) -2，y <0 のとき　x +2- y =6
s　(1)　m( 1- U 5 ，1+ U 5 (m　(2)　0 m，-m 2 +2m +41
(3)　m =-2 のとき x =0 ，-4；m =4 のとき x =6 ，2
よって　y = x -4
解説
[3]　x <-2，y) 0 のとき　-x -2+ y =6
-8
-2 O
よって　y = x +8
4
x
-4
-6
[4]　x <-2，y <0 のとき　-x -2- y =6
よって　y =-x -8
(1)　x 2 -2mx +2m +4=0 の判別式を D とすると
D
= 0 -m 1 2 - 0 2m +4 1 = m 2 -2m -4
4
共有点をもつための条件は D) 0 であるから　m 2 -2m -4 ) 0
[1] ～ [4] から，右の図のようになる。
よって　m( 1- U 5 ，1+ U 5 (m
u　(3)　方程式 x +2 + y =6 の表す図は，方程式 x + y =6 の表す図
(4 点 0 $6，01 ，0 0， $ 61 を頂点とする正方形) を x軸方向に -2 平行移動したもの。
(2)　y = x 2 -2mx +2m +4 を変形すると　y = 0 x - m 1 2 - m 2 +2m +4
よって，グラフの頂点の座標は　0 m， - m 2 +2m +41
(3)　x 2 -2mx +2m +4=0 を解くと　x = m$ U m 2 - 2m - 4
[四ﾒｼﾞ問24]放物線の平行移動とx軸との接点.2次関数の決定" 四メジアンⅠⅡＡＢ受立教大#
2
グラフが x 軸から切り取る線分の長さが 4 であるから，
xy 平面上の放物線 y =3x +2ax + a を x 軸方向に a，y 軸方向に b だけ平行移動すると，
この放物線は点 0 -2，0 1 で x 軸と接した。このとき a =
ア
，b =
イ
である。
x
x =4 $ 2 すなわち　x =6 ，2
これを解いて　a = ア-3 ，b =イ 6
6
4
2 m 2
すなわち　0 m +2 10 m -4 1 =0
これを解いて　m =-2 ，4
よって　-4a =12 ，a 2 + a +b =12
y
(3)　"図#
2
[四ﾒｼﾞ問26(1)]直線x=2,点(-1,1)に関してy=x^2-2x+3と対称" 四メジアンⅠⅡＡＢ受摂南大#
① から　a 2 =8b
y - 0t 2 +11 =2t0 x - t 1　すなわち　y =2tx - t 2 +1
直線 x =2 に関して放物線 C：y = x 2 -2x +3 と対称な曲線の方程式を求めよ。また，点
これを ② に代入して整理すると　2b 2 + b-6=0
点 Q の y 座標は ^
1 の y 切片であるから
(－1，1) に関して放物線 C と対称な曲線の方程式を求めよ。
2
s　順に y = x -6x +11，y =-x -6x -9
よって　a 2 =8･
解説
C の方程式を変形すると　y = 0 x - 11 2 +2
3
2
よって，^
の方程式は　y =2
C
1+a
=2，b =2　よって　a =3，b =2
2
したがって，直線 x =2 に関して，C と対称な曲線は，
2 次の係数が 1，頂点が点 0 3，21 の放物線であるから，
(2)　C が x 軸の正の部分と異なる 2 点で交わるように，k の値の範囲を定めよ。
O
x
2
y
これを解くと　X =
解説
標を 0 c，d1 とすると
2
(1)　C が y 軸の正の部分と交わるための条件は　f 0 0 1 =2k -8k+4>0
1+c
2+d
=-1，
=1
2
2
よって　k 2 -4k+2>0 これを解いて　k <2-U 2 ，2+ U2 < k
0 -1，11
0 c，d1
よって　c =-3，d =0
したがって，点 0 -1，11 に関して，C と対称な曲線は，
(2)　C が x 軸の正の部分と異なる 2 点で交わるための
0 1，21
O
x
ら，その方程式は
2
y
条件は，f 0 x 1 =0 の判別式を D とすると
2 次の係数が -1，頂点が点 0 -3，01 の放物線であるか
2
y =-0 x + 31 すなわち　y =-x -6x -9
F
D
= 0 k- 2 1 2 - 02k 2 -8k + 41 > 0 …… ①
4
軸について
k - 2 >0
2
f 0 0 1 = 2k - 8k + 4 >0
f 0 01
…… ②
+
…… ③
O
k -2
x
2
① から　k -4k <0　すなわち　k0 k -4 1 <0
ゆえに　0< k <4 …… ④
[四ﾒｼﾞ問26(2)]両座標軸との交点P(接点),Q,PQ=√3から関数決定"四メジアンⅠⅡＡＢ受愛知工業大#
② から　k >2 …… ⑤
xy 平面において，2 次関数 y =2x 2 + ax + b 0 a >0 1 のグラフは x 軸と点 P で接し，y 軸
(1) により，③ から　k<2-U 2 ，2+ U 2 < k …… ⑥
と点 Q で交わるとする。線分 PQ の長さが U 3 であるとき，a，b の値を求めよ。
④，⑤，⑥ の共通範囲を求めて　2+ U 2 < k <4
s　a =2U 3 ，b =
3
2
[四ﾒｼﾞ問28]2つの放物線と接線.接点の座標決定"四メジアンⅠⅡＡＢ受埼玉大#
解説
8
a
y =2x + ax + b を変形すると　y =2 x +
4
2
9
2
座標平面上の 2 つの曲線 C 1，C 2 を C 1：y = x 2 +1 ，C 2：y =-x 2 -1 と定める。
a2
+b 8
^1 と y 軸との交点を Q とする。
とし，
点 P 0t，t 2 +11 0 t >0 1 における C 1 の接線を ^
1
y
この 2 次関数のグラフが x 軸と接するから
(1)　点 Q を通り，^1 と垂直な直線 ^2 の方程式を求めよ。
(2)　(1) で求めた直線　^2 が曲線 C 2 と接するときの t の値を求めよ。
2
b -
a
=0 …… ①
8
8
このとき，P の座標は　-
a
，0
4
Q 0 0，b 1
U3
9
s　(1)　y =-
Q の座標は　0 0，b 1
また，PQ=U 3 より，PQ 2 =3 であるから
2
a
- - 0 + 0 0 - b 1 2 =3
4
8
すなわち　9
a2
+ b 2 =3 …… ②
16
8
P -
9
a
，0
4
O
x
1
4 $ U 15
x - t 2 +1 (2)　t = U
2t
2
解説
(1)　y = x 2 +1 から　y - =2x
C 1 上の点 P 0t，t 2 +11 における接線　^1 の方程式は
8=
2
9 -402-t 1 =0
2
U 10 $ U 6
4
4 $U 15
(U 15 <4 であるから，いずれも X >0 を満たす)
4
4 $ U 15
t >0 であるから　t = U
2
y = f 0 x 1 のグラフは下に凸の放物線で，軸は直線 x = k -2 である。
C
1
2t
t 2 = X (＞0) とおくと　16X 2 -32X +1=0
f 0 x 1 = x 2 + 0 4 -2k 1x +2k 2 -8k +4 とする。
(後半)　点 0 -1，11 に関して，点 0 1，21 と対称な点の座
C2
ゆえに　1-16t 202 - t 21 =0　すなわち　16t 4 -32t 2 +1=0
s　(1)　k <2-U 2 ，2+ U2 < k　(2)　2+ U 2 < k<4
y = 0 x - 31 2 +2　すなわち　y = x 2 -6x +11
x
O -1
1
x +2- t 2 =0
2t
8
0 a，b1
その方程式は
P 0t, t 2 +11
^2
よって，この判別式を D とすると　D = -
(1)　C が y 軸の正の部分と交わるように，k の値の範囲を定めよ。
0 1，21
Q
が重解をもつことである。
k を実数とし，2 次関数 y = x 2 + 0 4 -2k 1x +2k 2 -8k +4 のグラフを C とする。
3
1
1
-x -1=- x - t 2 +1
2t
[四ﾒｼﾞ問27]y軸,x軸の正の部分と交わる放物線の係数のkの範囲"四メジアンⅠⅡＡＢ受徳島大#
標を 0 a，b1 とすると
^1
2
すなわち　x 2 -
y
1
x - t 2 +1
2t
(2)　^2 が C 2 と接する条件は，y を消去した x の方程式
3
=12　a >0 であるから　a =2U 3
2
よって，C の頂点の座標は　0 1，21
(前半)　直線 x =2 に関して，点 0 1，21 と対称な点の座
y
Q 00，-t +11
すなわち　0 2b -3 10 b +2 1 =0
グラフより，b >0 であるから　b =
2
C1
2
9
8=
U 10 $ U 6
4
9
[四ﾒｼﾞ問29]y=min(2x+4,|x-2|)とy=-x^2+kのグラフの共有点"四メジアンⅠⅡＡＢ受名古屋市立大#
よって，y = f 0 x 1 + x 2 のグラフは右の図のようになる。
関数 f 0 x 1 =min 0 2x + 4， x - 2 1 および g 0 x 1 =-x 2 + k (k は定数) について，次の問い
に答えよ。ただし min 0 a，b 1 は a と b の大きくない方を表す。
以上から，交点の個数は
k <
(1)　y = f 0 x 1 のグラフをかけ。
(2)　y = f 0 x 1 のグラフと y = g 0 x 1 のグラフの共有点の個数を求めよ。
k >
k >
28
28
のとき 4 個，k =
のとき 3 個，
9
9
-2
2 O
3
28
のとき 2 個
9
2
x
28
28
のとき 4 個， k =
のとき 3 個，
9
9
-
28
のとき 2 個
9
O 1
2
2
3
x
2
[四ﾒｼﾞ例4(1)]放物線と直線の交点を通り,x軸に接する放物線"四メジアンⅠⅡＡＢ受同志社大#
放物線 y = x 2 と直線 y = x +1 の 2 つの交点 P，Q を通り，x 軸に接し，y 軸に平行な軸
をもつ放物線のうち，y = x 2 以外のものの方程式を求めよ。
解説
s　y =
(1)　y =2x +4 と y = x -2 のグラフは，図 [1] のようになる。
したがって，y = f 0 x 1 のグラフは図 [2] のようになる。
1
x + 21 2
50
解説
交点 P，Q を通り，y 軸に平行な軸をもつ放物線の方程式は，一般に k を定数として
[1]　[2]
y
7
4
-1
8
3
7
< k <3 のとき 2 個，k =3 のとき 3 個，
4
3< k <
4
3
7
< k<3 のとき 2 個， k =3 のとき 3 個，
4
y
7
7
(2)　k < のとき 0 個，k = のとき 1 個，
4
4
7
7
のとき 0 個，k = のとき 1 個，
4
4
3< k <
s　(1)　"図#
y
28
9
y
y =2x +4
y - x 2 + k6 y - 0 x +11 7 =0 0 k' -1 1 とおける。
変形すると　0 1 + k1 y = x 2 + kx + k 0 k' -1 1
4
8 y = x -2
3
この放物線が x 軸に接する条件は　k 2 -4k =0　よって　k =0 ，4
8
3
k =0 のとき y = x 2 となり不適。
-2
-2
2 O
3
2
2 O
3
x
x
2
k =4 のとき y =
1
1
x + 21 2 となり適する。　p　y = 0 x + 21 2
50
5
[四ﾒｼﾞ例4(2)]方程式|9-x^2|=x+kの実数解の個数"四メジアンⅠⅡＡＢ受成蹊大#
(2)　y = f 0 x 1 のグラフと y = g 0 x 1 のグラフの共有点の個数は，方程式 f 0 x 1 =-x 2 + k
すなわち f 0 x 1 + x 2 = k の異なる実数解の個数と一致する。
よって，y = f 0 x 1 + x 2 のグラフと直線 y =k の共有点の個数と一致する。
f 0 x 1 =
F
2
x( 3
8
9
2
であるから
-x + 2 - < x < 2
8 3
9
2x + 4
F
2
x + 2x + 4
f 0 x 1 + x 2 =
x 2 -x+ 2
x 2 +x- 2
37
37
37
< k のとき 2
のとき 4，k =
のとき 3，
4
4
4
解説
9- x 2 - x = k
2
3
8
9
8
9
1
7
2
2
= x+
- < x<2
9
8- 3 <x<29 8 21 9 49 8 3
0 x) 2 1
8x + 2 9 - 4 0 x ) 2 1
2
x( 3
s　k <-3 のとき 0，k =-3 のとき 1，-3< k <3 のとき 2，k =3 のとき 3，
3< k <
0 x) 2 1
x- 2
方程式 9- x 2 = x + k の実数解の個数を調べよ。
F
2
0 x + 1 1 +3
2
2
x( -
y
y = 9- x 2 - x については
2
-3 (x( 3 のとき　y = 0 9 - x 1 - x
8
よって　y =-x 2 - x +9=- x +
1
2
2
37
9+4
k
x <-3，3< x のとき　y =-09 - x 21 - x
1
よって　y = x - x -9= x 2
2
8
9
2
37
4
グラフは右の図のようになる。
したがって，直線 y = k との共有点の個数を求めて
37
4
3
3
-3
-
1 O
2
x
-3
k <-3 のとき 0，k =-3 のとき 1，-3< k <3 のとき 2，k =3 のとき 3，
3< k <
37
37
37
< k のとき 2
のとき 4，k =
のとき 3，
4
4
4

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