情報数学基礎論演習問題解答木村泰紀∗ 2014 年 5 月 12 日出題問題 1. H をヒルベルト空間とし, y ∈ H とする. 線形連続作用素 T : H → C を, 内積を用いて, 各 x ∈ H に対して T x = x, y で定義するとき, T = y が成り立つことを示せ. 解答 y = 0 のときは, 任意の x ∈ H に対して T x = 0 となるので, 作用素ノルムの公式より T = sup |T x| = 0 = y x =1 となる. y = 0 のときは, z = y/ y とすると y ,y y T = sup |T x| ≥ |T z| = | z, y | = x =1 = y y 一方, シュワルツの不等式より, 任意の x ∈ H に対して |T x| = | x, y | ≤ x ノルムの定義より T 2 = y . y が成り立つので, 作用素の = inf{K ∈ R : |T x| ≤ K x (∀x ∈ H)} ≤ y . したがって T = y が成り立つことが示された. ∑∞ k p p 1 < p < ∞ に対し複素数列の空間 lp = {x = (xk ) : k=1 |x | < ∞} と l 上のノルム (∑∞ ) 1/p k p = を考える. 実数 q が 1/p + 1/q = 1 をみたすとき, 次の問いに答えよ. k=1 |x | 問題 2. x p (i) 複素数列 y = (y k ) に対し, z = (z k ) を各 k ∈ N に対して y k = 0 ならば z k = |y k |q /y k , y k = 0 ならば ∑∞ ∑∞ z k = 0 と定義する. このとき k=1 |z k |p = k=1 |y k |q を示せ. (ii) 各 n ∈ N に対し, 複素数列 en = (ekn ) ∈ lp を各 k ∈ N に対し n = k ならば ekn = 1, n = k ならば ekn = 0 で定義する. f ∈ (lp )∗ に対し, 各 k ∈ N に対し y k = f (ek ) ∈ C として複素数列 y = (y k ) を定義するとき, y ∈ lq であることを示せ. (iii) 任意の f ∈ (lp )∗ に対して y = (y k ) ∈ lq が存在して, f (x) = ∑∞ k=1 xk y k が任意の x = (xk ) ∈ lp で成り立つことを示せ. 解答 (i) 1/p + 1/q = 1 より p + q = pq である. よって q = pq − p = (q − 1)p. 一方, (z k ) の定義より |z k | = |y k |q−1 が各 k ∈ N で成り立つので ∞ ∑ k=1 ∗ |z | = k p ∞ ∑ |y | k (q−1)p k=1 = ∞ ∑ |y k |q . k=1 東邦大学理学部情報科学科. http://www.lab2.toho-u.ac.jp/sci/is/kimura/yasunori/ 1 (ii) y に対して (i) のように z = (z k ) を定義する. さらに, 各 n ∈ N に対して zn = (z 1 , z 2 , . . . , z n , 0, 0, . . . ) ∈ lp とする. このとき (i) と同様にして ( zn p = n ∑ )1/p ( |z | k p = k=1 となる. さらに zn = ∑n k=1 n ∑ )1/p |y | k q k=1 z k ek であり, z k f (ek ) = z k y k = |y k |q であることから ( n ) n n ∑ ∑ ∑ k f (zn ) = f z ek = z k f (ek ) = |y k |q . k=1 k=1 k=1 よって n ∑ ( |y k |q = |f (zn )| ≤ f zn = f p k=1 となり, したがって n ∑ )1/p |y k |q k=1 ( n ∑ )1−1/p |y | k q ( = k=1 n ∑ )1/q |y | ≤ f k q k=1 が任意の n ∈ N で成り立つ. よって n → ∞ とすると ( ∞ ∑ )1/q |y | ≤ f <∞ k q k=1 となり, y ∈ lq が示された. (iii) 任意の f ∈ (lp )∗ に対して y = (y k ) を (ii) のようにとると y ∈ lq である. x = (xk ) ∈ lp とする. 各 n ∈ N に対して xn = (x1 , x2 , . . . , xn , 0, 0, . . . ) ∈ lp とすると ( lim n→∞ x − xn p = lim n→∞ )1/p ∞ ∑ |x | k p =0 k=n+1 より xn → x である. これを用いると, f は連続かつ線形だから ( f (x) = lim f (xn ) = lim f n→∞ n→∞ n ∑ k=1 ) k x ek = lim n→∞ が任意の x ∈ lp で成り立つ. 2 n ∑ k=1 xk f (ek ) = lim n→∞ n ∑ k=1 xk y k = ∞ ∑ k=1 xk y k