2014 年度「ファイナンス保険数理特論」レポート問題出題日 2014 年 6 月 1 日，高岡浩一郎∗ 【このファイルは３頁分です．】以下の問１∼問６のうち４問以上に答えて，7 月以降，8 月 5 日（火）14:00 までに商学研究室（第２研究館１階）に提出してください．締切後に解答をホームページにアップロードします． [ 問 1 ] ゼロ以上の整数に値をとる確率過程 X = {Xt }t≥0 は，以下の４つの性質をもつと仮定する．ただし λ は正定数である． • X0 = 0 • X は独立・定常増分過程である • 確率 1 で，X の経路は非減少かつ右連続 [ ] P Xt+δ − Xt = 1 ∀t ≥ 0, lim = λ かつ δ↓0 δ • [ ] P Xt+δ − Xt ≥ 2 lim = 0 δ↓0 δ このとき，以下の誘導に沿って，X が強度 λ の Poisson 過程であることを示しなさい． (i) [ ] pk (t) := P Xt = k と定義するとき，ゼロ以上の各整数 k および各 t ≥ 0 と δ > 0 に対して， pk ( t + δ ) = k ∑ pj (t) pk−j (δ) j=0 を示しなさい． (ii) 上式を変形し δ ↓ 0 の極限を考えることにより，k = 0 のときは各 t に対して d p0 (t) = −λ p0 (t) dt が成り立ち，また k ≥ 1 のときは各 t に対して d pk (t) = −λ pk (t) + λ pk−1 (t) dt が成り立つことを示しなさい． (iii) pk (t) = (λt)k −λt e を示しなさい． k! ∗ 一橋大学大学院商学研究科．E-mail: [email protected] 1 [ 問 2 ] ある会社の現在株価 S0 は 400 円である．今後株価 S は下図のような変動をすると仮定する．現在 t = 0 200 ✟✟ ❍❍ t=1 ✟ ✯ ✟✟ ❍❍ ❍ ❥ 400 100 t=2 ✯ ✟ ✟✟ ✟ ✟ ❍❍ ❍❍ ❥ ❍ ✯ ✟ ✟ ✟ ✟ ✟ ❍❍ ❍❍ ❥ ❍ t=3 ✯ ✟ ✟✟ ✟ ✟ ❍❍ ❍❍ ❥ ❍ ✯ ✟ ✟ ✟ ✟✟ 800 200 ❍❍ ❍❍ ❥ ❍ ✯ ✟ ✟ ✟ ✟✟ 50 ❍ ❍❍ ❍ ❥ ❍ 1600 400 100 25 標本空間およびフィルトレーションとして妥当なものは何か． (i) (ii) 金利はゼロと仮定するとき，満期 T = 3 で次のようなペイオフを持つデリバティブ３種類それぞれの，現在価値および複製方法を求めなさい． 2. (300 − S3 )+ つまり行使価格 300 円のヨーロピアン・プット ( )+ max0≤t≤3 St − 300 3. S1 +S2 +S3 3 1. (iii) 上の問題 (ii) において，金利がゼロではなく安全債券価格 B が 1 → 変動するとき，答えはどうなるか． 5 4 → ( 54 )2 → ( 45 )3 と [ 問 3 ] 離散時間の設定を考える．株価過程を S と記し，安全債券価格過程を B と記す．実数 ( ) c と２つの可予測過程 ϕ = {ϕt }t=1,··· ,T , ψ = {ψt }t=1,··· ,T の組 c, ϕ, ψ に対し，以下の３つの性質は全て同値であることを示しなさい： 1. 2. 3. ϕt St−1 + ψt Bt−1 = c + ϕt St + ψt Bt = c + t−1 ∑ t ∑ ϕ ∆S + ϕ ∆S + t−1 ∑ t ∑ ψ ∆B, ψ ∆B, t = 1, 2, · · · , T. t = 1, 2, · · · , T. c = ϕ1 S0 + ψ1 B0 , かつ ϕt St + ψt Bt = ϕt+1 St + ψt+1 Bt , 2 t = 1, 2, · · · , T − 1. また，この同値性の証明には，２項モデルの特性や安全債券価格 B が確定的に変動していることを全く使っていないことを確かめなさい． [ 問4 ] { Wt }t∈[0,T ] を１次元 Brown 運動とする．次の５つの問に対して，それぞれ (a) マルチンゲールの定義に沿った方法 (b) 伊藤の公式を使う方法の２通りで答えなさい．ただし 1 については (a) の方法だけでよい． (i) (ii) 確率過程 Wt がマルチンゲールであることを示しなさい．確率過程 Wt2 − t がマルチンゲールであることを示しなさい． (iii) 確率過程 Wt3 − 3 t Wt がマルチンゲールであることを示しなさい． (iv) 確率過程 Wt4 + α t Wt2 + βt2 がマルチンゲールになるように，２つの定数 α と β を定めなさい． (v) 確率過程 exp(σWt + µt) がマルチンゲールになるためには，２つの定数 σ と µ がどのような関係式を満たせばよいか． [ 問 5 ] 配当の無い株式を原資産とする，満期 T, 行使価格 K のヨーロピアンコールオプションを考える．Black-Scholes 評価式によると，時刻 t でのオプション価格（ただし 0 ≤ t < T ）は C(St , t) d± = = St Φ(d+ ) − K e−r(T −t) Φ(d− ), log ( St K e−r(T −t) √ ) ± 1 2 2 σ (T − t) σ T −t である．これについて次の問に答えなさい． (i) (ii) (iii) (iv) Black-Scholes 価格モデルから出発し，マルチンゲールを用いた方法で上記の価格式を導出しなさい． ∂C ∂S = Φ(d+ ) を示しなさい．また上記の Black-Scholes 式が Black-Scholes 偏微分方程式 ∂C 1 ∂2C ∂C + σ 2 s2 + rs − rC = 0 を満たすことを示しなさい． ∂t 2 ∂s2 ∂s lim C(St , t) = (ST − K)+ を確かめなさい． t→T ∂C ∂σ > 0 を示しなさい．また，St と t の値を固定したうえで lim C(St , t) および lim C(St , t) σ→∞ σ→0 をそれぞれ求めなさい． [ 問 6 ] Poisson 過程 {Nt }t≥0 が，経路の連続性に関する Kolmogorov’s criterion を満たさないこと，つまり４つの正定数 α, β, C, ϵ をどのように選んでも「 |t − s| < ϵ を満たす各 s > 0, t > 0 に対して [ ] E |Nt − Ns |α ≤ C|t − s|1+β 」 (∗) が成り立たないことを示しなさい．また，Brown 運動 {Wt }t≥0 は Kolmogorov’s criterion を満たすこと，つまり上記 (∗) を満たすような４つの正定数 α, β, C, ϵ が存在することを示しなさい． 3