数学演習 IA 第 6 回小テスト（H26.5.21）の略解（電気情報の学生は問 7

数学演習 IA 第 6 回小テスト（H26.5.21）の略解
（電気情報の学生は問 7, 8, 9．
）
問 1. (i) ∀ε > 0, ∃N s.t. |an − α| < ε for ∀n > N .
(ii) ∃ε0 > 0 s.t. ∀N ∈ N に対して, ∃n s.t. n > N であり |an − α| ≥ ε0 .
問 2. lim an = α, lim bn = β だから，∀ε > 0 に対してある自然数 N1 ,
n→∞
N2 が存在して，
n→∞
n > N1 ⇒ |an − α| < ε/2,
n > N2 ⇒ |bn − β| < ε/2
が成り立つ．したがって，N = max{N1 , N2 } とすると，∀n > N に対して
|an + bn − (α + β)| = |(an + β) − (bn + β)|
≤ |an − β| + |bn − β|
< ε/2 + ε/2 = ε.
よって lim (an + bn ) = α + β である．
n→∞
問 3. (i) ∃M > 0 s.t. |an | ≤ M for ∀n が成り立つとき，数列 {an } は有
界であるという．
(ii) {an } を収束列とし，an → α とすると，∃N s.t. |an − α| < 1 for
∀n > N が成り立つ．したがって ∀n > N に対して
|an | = |(an − α) + α| ≤ |an − α| + |α| ≤ 1 + |α|
が成り立つ．M = max{|a1 |, · · · , |aN |, 1 + |α|} とすると，|an | ≤ M for
∀n が成り立つ．よって {an } は有界である
(iii) (ii) より {bn } は有界だから，∃M > 0 s.t. |bn | ≤ M for ∀n. また，
lim an = α, lim bn = β だから，∃N1 , N2 s.t.
n→∞
n→∞
n > N1 ⇒ |an − α| < ε/(M + |α|),
n > N2 ⇒ |bn − β| < ε/(M + |α|)
1
が成り立つ．したがって，N = max{N1 , N2 } とすると，∀n > N に対して
|an bn − αβ| = |(an − α)bn + α(bn − β)|
≤ |an − α||bn | + |α||bn − β|
<
Mε
M +|α|
+
|α|ε
M +|α|
= ε.
したがって lim an bn = αβ である．
n→∞
問 4. ∀M > 0 に対してある自然数 N があって，n ≥ N ならば an > M
が成り立つとき， lim an = +∞ という． lim an = −∞ も同様である．
n→∞
n→∞
問 5. lim an = α だから，∀ε > 0 に対して ∃N0 s.t. |an − α| < ε/2 for
n→∞
∀n > N0 . したがって，M = max{|a1 − α|, · · · , |aN0 − α|} とおくと，
n > N0 のとき，
a1 + · · · + an
−
α
n
(a1 − α) + · · · + (aN0 − α) + (aN0 +1 − α) · · · + (an − α) = n
N0
n
1 ∑
1∑
|ak − α| +
|ak − α|
≤
n k=1
n k=N +1
0
N0 M
(n − N0 )ε
≤
+
n
2n
N0 M
ε
≤
+ .
n
2
よって，N = max{2N0 M/ε, N0 } とおくと，n > N に対して
ε
だから
2N0 M
ε ε
a1 + · · · + an
− α ≤ + = ε.
n
2 2
ゆえに
1
n
≤
1
N
≤
a1 + · · · + an
=α
n→∞
n
lim
である．
(ii) α = ∞ のとき，∀M > 0 に対してある自然数 N0 があって，n > N0
ならば an > 2M が成り立つ．よって K = max{|a1 |, · · · , |aN0 |} とすると，
2
n > N0 のとき
a1 + · · · + an
aN0 +1 + · · · + an a1 + · · · + aN0
=
+
n
n
n
2M + · · · + 2M
|a1 | + · · · + |aN0 |
>
−
n
n
2M (n − N0 ) KN0
2N0
KN0
≥
−
= 2M −
M−
.
n
n
n
n
N = max{4N0 , 2KN0 /M, N0 } とおくと，n > N に対して
M
M
a1 + · · · + an
≥ 2M −
−
= M.
n
2
2
a1 + · · · + an
→ ∞.
n
問 6. {an } が α に収束しないとすると, ∃ε0 > 0 s.t. ∀N ∈ N に対して, ∃n
s.t. n > N であり |an − α| ≥ ε0 . したがって，N = 1 に対して, ∃n1 s.t.
|an1 − α| ≥ ε0 . N = n1 に対して, ∃n2 > n1 s.t. |an2 − α| ≥ ε0 . この操
作を続けて, ∃{nk }; n1 < n2 < · · · < nk < · · · s.t. |ank − α| ≥ ε0 for ∀k.
このとき, {ank } は α に収束する部分列をもち得ない. これは矛盾である.
したがって {an } は α に収束する.
したがって，
3
問 7. (i) 3 (ii) m (iii)
問 8. (i) 3 (ii)
b
a
1
2
(iv) 1
(iii) 2
問 9. (i) ex (ii) ∞ (iii) c ≤ 0 のとき 0, c > 0 のとき ∞ (iv) c ≤ 0 のとき
−∞, c > 0 のとき 0 (v) 1
4

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