2014/10/03(金) 19:40-21:10 数学演習 (東京理科大学 工学部第二部 経営工学科) 補助資料 目標: III 複素数の関数 (第 1 章) §3. 数列 · 級数 · 極限 (テキスト p.137-141) §4. 複素変数の関数 (テキスト p.141-146) §3. 数列 · 級数 · 極限 (テキスト p.137-141) 定義 3.1 (数列の収束). z0 を複素数とする. このとき, 複素数の数列 {zn }∞ n=1 が z0 に収束するとは, ∀ε > 0 ∃N = N (ε) > 0 s.t. ∀n > N =⇒ |zn − z0 | < ε, (∗) すなわち, 任意の正の実数 ε に対して,正の整数 N = N (ε) が存在し, n > N を満足するすべての n に対して |zn − z0 | < ε が成り立つときをいい, lim zn = z0 または zn → z0 (n → ∞) と書き表す. n→∞ 注意 3.1. 定義 3.1 は番号 n が大きくなるにつれて, zn が限りなく z0 に近づくことを置き換えて述べたものである. ∞ 定義 3.2 (数列の発散). (i) 複素数の数列 {zn }∞ n=1 が収束しないとき, 数列 {zn }n=1 は発散するという. (ii) 複素数の数列 {zn }∞ n=1 が ∞ に発散するとは, ∀K > 0 ∃N = N (K) > 0 s.t. ∀n > N =⇒ |zn | > K, (∗∗) すなわち, 任意の正の実数 K に対して,正の整数 N = N (K) が存在し, n > N を満足するすべての n に対して |zn | > K が成り立つときをいい, lim zn = ∞ または zn → ∞ (n → ∞) と書き表す. n→∞ 例 3.1. zn = 1 − (−1)n i n とする. このとき, 数列 {zn }∞ n=1 は 1 に収束すること ( lim zn = 1) を証明せよ. n→∞ 証明 (概要). N を正の整数とする. このとき, n > N を満足するすべての n に対して, (−1)n i (−1)n i 1 1 |zn − 1| = 1 − − 1 = − = < . n n n N したがって, 任意の ε > 0 に対して, N = [ 1ε ] + 1 ([ ] はガウス記号) とおくと, [ 1ε ] + 1 > |zn − 1| < 1 ε より, 1 1 1 = 1 < 1 = ε. N [ε] + 1 ε 定義 3.1 より, 数列 {zn }∞ n=1 は 1 に収束する. □ 定義 3.3 (級数の収束). 無限個の複素数の列 z1 , z2 , · · · , zn , · · · に対して, ( S1 = z1 , S2 = z1 + z2 = 2 ∑ ) ( ∑ ) n zk , · · · , Sn = z1 + z2 + · · · + zn = zk , · · · k=1 k=1 として, 数列 {Sn }∞ n=1 をつくる. このとき, Sn が S に収束するとき, 無限級数 ∑∞ であるといい, S = k=1 zk と書き表す. 例 3.2. 無限 (べき) 級数 ∞ ∑ ∑∞ k=1 zk は収束して, その和は S (−z)k について, 次の場合: k=0 (1) |z| < 1 (2) |z| > 1 における収束 · 発散を調べよ. また, 収束するならば, その極限も求めよ. 解答 (概要). Sn = n ∑ 1 − (−z)n+1 1 − (−z)n+1 = . 1 − (−z) 1+z ∞ ∞ ∑ ∑ (n → ∞). したがって, 級数 (−z)k は収束し, (−z)k = (−z)k とおくと, Sn = 1 − z + z 2 + · · · + (−z)n = k=0 (1) |z| < 1 なので, (−z)n → 0, すなわち Sn → 1 1+z k=0 (2) |z| > 1 なので, (−z)n は n → ∞ のとき発散するので, Sn は収束しない. したがって, 級数 ∞ ∑ k=0 1 k=0 1 . 1+z (−z)k は発散する. §4. 複素変数の関数 (テキスト p.141-146) 複素数 z = x + yi について, x と y が互いに独立な実数の変数であるとき, z を複素変数という. ある領域 D の各点 z = x + yi に対し, 1 つの複素数 w = u + vi が対応する規則が与えられたとき, w を z の (複素) 関数といい, w = f (z) = u(x, y) + iv(x, y) と表す. この領域 D を f の定義域といい, 集合 I = {f (z)| z ∈ D} を f の値域という. また, z を独立変数という. 独立変数 z の値を示すために用いられる複素数平面を z 平面といい, 関数 w = f (z) の値を示すために用いられる複素数 平面を w 平面という. 定義 4.1 (複素関数の連続性). 領域 D 上で定義された関数 w = f (z) を考える. このとき, 関数 f (z) が点 α ∈ D で連続であるとは, ∀ε > 0 ∃δ = δ(ε) > 0 s.t. |z − α| < δ =⇒ |f (z) − f (α)| < ε, すなわち, 任意の正の実数 ε に対して, 正の数 δ = δ(ε) が存在し, |z − α| < δ を満足するすべての z に対して |f (z) − f (α)| < ε が成り立つときをいい, lim f (z) = f (α) または f (z) → f (α) (z → α) と書き表す. z→α 注意 4.1. 定義 4.1 は独立変数 z がいかなる方向から α に近づいても, 関数 f (z) が限りなく一定値 f (α) に近づくこと を置き換えて述べたものである. 命題 4.1. 領域 D 上で定義された関数 f (z), g(z) が点 α ∈ D で連続であるとする. このとき, f (z) ± g(z), f (z)g(z) は点 α で連続である. また, g(α) ̸= 0 のとき f (z) g(z) は点 α で連続である. さらに, 関数 f (z) の実部 Re f (z) および 虚部 Im f (z) も点 α で連続である. 命題 4.2. 領域 D 上で定義された関数 f (z) が点 α で連続であることの必要十分条件は次の 3 つの条件: (i) f (z) が z = α で定義されている (ii) lim f (z) が存在する z→α (iii) lim f (z) = f (α) z→α が成立することである. 例 4.1. 複素数平面上で定義された次の関数が z = 0 で連続であるかどうかを調べよ. z { { , 2z, z ̸= 0 2z, z ̸= 0 |z| (1) f (z) = (2) f (z) = (3) f (z) = 0, 0, z=0 1, z=0 z ̸= 0 z=0 解答 (概要). (1) δ を正数とする. このとき, |z| < δ を満足するすべての z に対して, |f (z) − f (0)| = |2z − 0| = 2|z| < 2δ が成立するので, 任意の ε > 0 に対して, δ = ε 2 とおくと, |f (z) − f (0)| < ε. 定義 4.1 より, 関数 f は z = 0 で連続である. (2) lim f (z) ̸= f (0) である (命題 4.2 (iii) が成立しない) ことから, 関数 f は z = 0 で連続でない. z→0 (3) 複素平面上の点 z := x + yi が, 直線 y = mx に沿って第一象限から (x, y > 0 を保ったまま) 0 に近づくとすれば, x + yi x(1 + mi) z 1 + mi √ √ √ = lim = lim lim = lim . 2 2 2 y=mx, x→+0 y=mx, x→+0 x 1 + m y=mx, x→+0 |z| y=mx, x→+0 1 + m2 x +y しかし, 極限値 √1+mi 1+m2 は点 z の経路である直線の傾き m とともに変化する. これは, 点 z から原点 0 への近づき方に よって f (z) の近づく値が変わることを意味する. したがって, lim f (z) は存在しない (命題 4.2 (ii), (iii) が成立しない) z→0 ことから, 関数 f は z = 0 で連続でない. 2 · · · (答)
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