基礎電気理論 (8) 2008年作成担当：本間聡連絡先 Email: [email protected] フレミングの左手の法則  ローレンツ力とは？  磁束密度がある空間中を移動する電荷に働く力 F  qv  B 磁束密度Bがある中を、電荷qが速度vで移動している場合に、電荷に発生する力をローレンツ力という。  電荷が移動すること＝電流Iが流れる。 F  IB  電流、磁束、力の向きはそれぞれ左手の中指、人差し指、親指の方向となる。フレミングの右手の法則  磁束密度Bがある中を、導体線を速度vで移動させた場合に発生する起電力の向き（電流Iが流れる向き）正の電荷が力Fを受けて移動する。教科書 p48の図を参照 F  vB 起電力の向きF（Iの向きでもある）、電束密度B、導体線の速度vをそれぞれ、右手の中指、人差し指、親指の方向になる。フレミングの左手と電流が流れる方向が逆になることに注意ベクトルの掛け算のおさらい  ベクトルの掛け算は2種類ある。  スカラー積（内積）  得られる結果はスカラー量。  ベクトル積（外積）  得られる結果はベクトル量スカラー積（内積） A  B  AB cos  もし，AとBが平行ならば A B  AB A  B もし，AとBが垂直ならば AB  0  Ax   Bx      A  B   Ay    B y   Ax Bx  Ay B y  Az Bz A  B   z  z ベクトル積（外積） | C | AB sin( ) AB  C AとBのベクトル積は、AとBを一辺とする平行四辺形の面積に対応する大きさを持ち、 AとBに対して垂直方向を向くベクトルとなる（右ねじの方向） AとBが作る面積に対応する C B B  A  A  B  Ax By k  Ax Bz j  Ay Bxk    A  Ay Bz  Az By i   Az Bx  Ax Bz j  Ax By  Ay Bx k ベクトル積と行列式  ベクトル積は計算が複雑。行列式と一緒に覚えると楽になる B  Bxi  By j  Bz k の外積は A  Ax i  Ay j  Az k i A  B  Ax Bx j Ay By k Az Bz  i Ay Bz  j Az Bx  k Ax B y  i Az B y  j Ax Bz  k Ay Bx  Ay Bz  Az B y i   Az Bx  Ax Bz  j  Ax B y  Ay Bx k スカラー3重積  スカラー3重積とは、ベクトル積とスカラー積より計算される。 ABC  間違ってはいけないのは、スカラー積とスカラー積ではない。  物理の計算を行う上でよく使われるので、意味を理解しておこう。スカラー3重積  流速Jを仮定する。 Jの方向は、流体の流れる方向を表す  Jの大きさは、流体の流れる速度を表す。   ある面を通過する流体の量を考えよう面に対して垂直にJが向く場合 J J 面積 S 面を通過する流体はJS スカラー3重積  流速ベクトルに対して面が傾いていた場合は？  Jに対してθだけ傾いた面 J J 面積 S 面を通過する流体はJScosθ もし極端な例をあげると J   90 面を通過する流体はJScos90° =0 スカラー3重積 S J 面を通過する流体はJScosθ 新たにSというベクトルを定義する大きさは、面の面積S 方向は、面に対して垂直面を通過する流体をベクトルで表すと V  J S スカラー3重積さらに平行四辺形の各一辺をベクトルA,Bとあらわすと B A S  AB V  J S V  J  A  B ベクトルA、Bを一辺とする平行四辺形を通過する流体Jの量スカラー3重積 i A  B  Ax j Ay Bx By k  Ay Bz  Az B y    Az   Az Bx  Ax Bz  Bz  Ax B y  Ay Bx   J x   Ay Bz  Az B y      J  A  B    J y    Az Bx  Ax Bz  J  A B  A B  y x  z  x y  J x Ay Bz  Az B y   J y  Az Bx  Ax Bz   J z Ax B y  Ay Bx  スカラー3重積行列式を使って表現すると、 J  A  B   J x Ay Bz  Az By   J y  Az Bx  Ax Bz   J z Ax By  Ay Bx  Jx Jy Jz  Ax Bx Ay By Az Bz ベクトル3重積教科書P53-55  各自見ておきましょう  勾配を理解する前に全微分を学ぶ  まずは山をイメージしよう標高 y y軸 x軸 (x,y) x (x+x,y+y) x方向に⊿x、y方向に⊿y移動すると高さはどれくらい変化するのか？座標(x,y)の山の標高はf(x,y)で与えられるとすると f  f ( x  x, y  y)  f ( x, y) 全微分の続き  式変形の続き f  f ( x  x, y  y )  f ( x, y )  f ( x  x, y  y )  f ( x, y  y )  f ( x, y  y )  f ( x, y ) f ( x  x, y  y )  f ( x, y  y )  x x ② f ( x, y  y )  f ( x, y )  y y ① 偏微分（partial differential） f ( x, y ) f ( x , y  y )  f ( x , y ) ①  lim y  0 y y f ( x, y ) f ( x  x, y  y )  f ( x, y  y ) ②  lim lim y  0 x  0 x x f ( x  x , y )  f ( x , y )  lim x  0 x 複数の変数を持つ関数についてたとえば、xとyの変数を持つ関数f(x,y)について変数の中でxを定数にしてf(x,y)をyで微分することをyで偏微分するという微分記号d/dyの代わりに、/ yの記号を使う全微分（total differential） f  f ( x  x, y  y )  f ( x, y ) f f  x  y x y 結論全微分とは、すべての変数について偏微分を計算し、それぞれに微小変化量をかけて足し合わせる。変数がx,yだけの場合もし変数がx,y, zなら f f f  x  y x y f f f f  x  y  z x y z ベクトルの勾配  勾配とは、どちらの方向にどれだけ傾いているか顔の向き顔の向き標高こちらの方向には坂になっていないな（傾きは0だ） y軸 x軸こちらに進むとのぼり坂だ（上方向に傾いている）傾きは、方向によって値が違う。つまり、傾きはベクトル量山の勾配 (x,y) 座標(x,y)の山の標高はf(x,y)で与えられるとすると x方向の傾きは？ f ( x, y ) f ( x  x, y )  f ( x, y )  lim y 0 x x 同様に f ( x, y ) f ( x, y  y )  f ( x, y ) y方向の傾きは？  lim y 0 y y 山の勾配  したがって、山の勾配はベクトルを使うと以下のように表現できる f f grad f  f  i  j x y 勾配を表す記号勾配：gradient iとjは、x,y方向の単位ベクトルもし、変数がx,y,zなら f f f grad f  f  i  j  k x y z ∇（ナブラ）について  ∇は演算子。計算する内容を指す      i  j k x y z もし、∇gを計算しなさいと言われると、以下のように与えられる。 g g g g  i  j k x y z          今後 6月13日 6月20日 6月27日 7月4日 7月11日スカラー3重積ベクトルの勾配勾配の計算例発散とガウスの定理発散の計算例回転とストークスの定理回転の計算例テストに向けての諸問題（日程を変更） 7月6日～11日、国際学会OECC（オーストラリア） 7月12日～18日国際学会ISOM（アメリカ） 7月25日テスト予定（日程は未定）