■ A 上一様収束する｛解析入門 P302｝｛30 講 P｝｛→大学院別｝定義 1 ||f || = sup |f (x)| A 上の函数列 (fn )n∈N が f に A 上一様収束するとは、 lim ||f − fn || = 0 n→∞ [どんな ² > 0 に対しても、ある自然数 n0 が存在して、n ≥ n0 をみたすすべての自然数 n に対して、sup |f () − fn ()| < ²] となることと定義する。 P P Pm A 上の函数を項とする級数 fn が A 上 f に一様収束するとは、 fn の部分和 sm = n=0 fn の作る函数列 (sm )mM が f に A 上一様収束することと定義する。定義 2 b ∈ に対し lim ||f − ft || = 0 t→b が成立つとき、函数族 (ft )t∈T は t → b のとき f に A 上一様収束するという。 1 2 ｛解析入門 P302｝定義 1 ||f || = sup |f (x)| A 上の函数列 (fn )n∈N が f に A 上一様収束するとは、 lim ||f − fn || = 0 n→∞ となることと定義する。 [ lim sup |f () − fn ()| = 0] n→∞ P12 定義 5 実数列 (an )n∈N が実数 a に収束するとは、どんな正数 ² > 0 に対しても、ある自然数 n0 が存在して、n ≥ n0 をみたすすべての自然数 n に対して、|a − an | < ² となることを言う。 a = lim an n→∞ [どんな ² > 0 に対しても、ある自然数 n0 が存在して、n ≥ n0 をみたすすべての自然数 n に対して、| sup |f () − fn ()| − 0| < ²] p5 定義 1 実数 b が R の部分集合 A の上界であるとは、任意の a ∈ A に対して、a ≤ b が成立つことを言う。 p6 A の上界の集合 U(A) の最小元 m が存在すれば、m を A の最小上界または上限といい、 m == supA と記す。 3 p308 定理 13.4（） A 上の函数族 (ft )t∈T に対し次の a),b) は同値である。 a) のとき (ft )t∈T は A 上一様収束する。 b) のとき (ft )t∈T は次の一様コーシー条件をみたす：任意の ² > 0 に対しのある T 近傍 U が存在して、 s, t ∈ U =⇒ ||fs − ft || < ² (13.12) が成り立つ。証明 b)=⇒a) (ft )t∈T が b) をみたし、任意の x ∈ A を固定するとき、t の函数として ft (x) は、（）によりに対してコーシーの条件をみたす。そこで定理.4.5 または定理により lim ft (x) = f (x) t→ が存在する。（13.12）から s, t ∈ U =⇒ |fs (x) − ft (x)| < ²(x ∈ A) だから、ここで s → とすると t ∈ U =⇒ |f (x) − ft (x)| ≤ ²() が成立つ。これは t ∈ U =⇒ ||f − ft || ≤ ² を意味するから、t → のとき (ft )t∈T は f に A 上一様収束する。 4 定理 13.5 A 上の函数列 (fn )nN に対し、次の i),ii) をみたす正数列 (Mn )nN が存在すれば、級 P∞ 数 n=0 fn は A 上一様収束する。 i) すべての n ∈ N に対し ||fn || ≤ Mn P∞ ii) n=0 Mn は収束する。 Pm Pm 証明 n=0 fn = sm 、 n=0 Mn = tm と置けば、p > q のとき、i) により、 p X ||sp − sq || = || fn || ≤ n=q+1 p X p X ||fn || ≤ n=q+1 Mn = |tp − tq | n=q+1 が成り立つ。いま ii) により (tn )nN はコーシー列である。従って上の不等式により (sn )nN は一様コーシー条件（定理 13.4 の b)）をみたす。従って (sn )nN は A 上一様収束する。 P∞ 例任意の整級数 f (z) = n=0 an (z − a)n は、その収束円板 D = {z ∈ C||z − a| < R} 内で広義一様収束する。R=0 なら自明だから R > 0 とする。D に含まれる任意のコンパクト集合を K とする。K 上での |z − a| の最大値を r とすれば 0 ≤ r < R で K ⊂ Dr = {z||z − a| ≤ r} となる。 r < |z0 − a| < R なる z0 で整級数は収束するから an (z0 − a)n → 0 となり、ある M ≥ 0 が存在して |an (z0 − a)n | ≤ M (∀n ∈ N ) が成立つ。このとき任意の z ∈ Dr に対し |an (z − a)n | ≤ |an (z0 − a)n || z−a n r | ≤ M( )n z0 − a |z0 − a| となる。そこで r/|z0 − a| = ρ < 1 で i) ||an (z − a)n ||Dr ≤ M ρn (∀n ∈ N ) P∞ ii) n=0 M ρn は収束する P が成り立つから、 an (z − a)n は Dr で、従って K で一様収束する。解析概論 p155 或る区間に属する各点において、函数の一列 f1 (x), f2 (x), , fn (x), n > N 、a ≤ x ≤ b なるとき、常に |f (x) − fn (x)| < ならば、函数列 {fn (x)} は [a, b] において一様に ()f(x) に収束するという。無限級数の項 an = an (x) が x の函数である場合に、或る区間において sn (x) = Pn n=1 an (x) が一様に収束するとき、この級数を一様に収束するという。換言 P∞ 定理 39. 或る区間において常に |an (x)| ≤ cn , (n = 1, 2, ), cn は正の定数で、 n=1 cn が収束す P∞ れば、級数 n=1 an (x) はその区間において一様に収束する ()。 [証] |Rn,m | = | m X n=n+1 m X an (x)| ≤ n=n+1 大学院別入試問題と解法 P14 [4] 5 cn ≤ ∞ X n=n+1 cn = rn がに一様収束し各が連続ならばも連続である。 1 = {∀² > 0} 2 = {∃n0 ∈ N } 3 = {n ≥ n0 =⇒ |an − a| < ²} 4 = {x|0 ≤ x ≤ 1} 5=δ 6 · 6 7 · · · 7 8 = ~a 9 = 10 = 11 = nbo a nbo a 12 = n X i=1 6 √ a