4) Integrali su superfici

` degli Studi di Parma
Universita
Corso di Studi in Matematica
Analisi Matematica 2b - 2013/2014
Integrali su superfici – Teorema di Stokes
Esercizio 4.1
Calcolare il flusso del campo vettoriale F uscente dal bordo ∂A dell’insieme A nei seguenti casi
n
o
a) F (x, y, z) = x, y, z 2 , A = (x, y, z) ∈ R3 : −1 < z < −x2 − y 2 . Verificare il Teorema di Gauss.
b) F (x, y, z) = x, y, z ,
n
o
A = (x, y, z) ∈ R3 : x + y + z < 1, x > 0, y > 0, z > 0 .
Esercizio 4.2
Calcolare i seguenti integrali superficiali:
Z
o
n
p
a)
z −4 dσ, S := (x, y, z) ∈ R3 : z = ( x2 + y 2 )−1 , 1 ≤ z ≤ 2 ;
S
Z
b)
S
dσ
√
,
1 − z4
√
√
o
n
2 2
π
2
3
y ,0≤x≤ ,0≤y≤
, y ≤ sin x .
S := (x, y, z) ∈ R : z = x +
2
2
2
Esercizio 4.3
n
o
1 2
Calcolare l’area della superficie S = (x, y, z) ∈ R3 : z =
x + 2y 2 , x2 + 4y 2 < 8 .
2
Esercizio 4.4
Calcolare il flusso del rotore del campo F (x, y, z) = (xy, xy, 0) attraverso la regione piana S = S1 ∪ S2 ,
dove
n
πx o
S1 = (x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ sin
,
2
n
o
p
√
S2 = (x, y) ∈ R2 : 1 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 2 − x2 .
Esercizio 4.5
Z
Calcolare l’integrale di superficie
rotF · n dσ, dove F (x, y, z) = x2 , 1, z , S `e il triangolo di verti-
S
ci (0, 0, 0), (1, 1, 0) e (0, 0, 1) ed n `e la normale orientata positivamente rispetto al piano yz.
Esercizio 4.6
Dato il campo vettoriale F = (xy, (x2 − y 2 )/2). Calcolare il flusso uscente rispetto alla curva γ di equazioni
parametriche x = cos3 (t), y = sin3 (t), t ∈ [0, 2π]. Dimostrare che F `e un campo vettoriale conservativo
in R e che i suoi potenziali sono funzioni armoniche.
2

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