GEOMETRIA III VI Foglio di Esercizi - 19 Maggio 2014 Singolarit` a e calcolo dei residui Esercizio 1. Classificare, mediante lo sviluppo in serie di Laurent, la singolarit`a della funzione f (z) = 1 . (z − 2)2 Esercizio 2. Classificare le singolarit` a delle seguenti funzioni: f (z) = 2 cos z cosh z 2 2 z 3 z 2 − π4 z2 + π2 4 g(z) = e−1/z . z Esercizio 3. Classificare le singolarit` a delle seguenti funzioni e stabilire il comportamento delle funzioni all’infinito: 1 a) f (z) = ze z c) g(z) = b) h(z) = z7 1 (z 2 −4)2 cos( z−2 ) 1 z(z 2 +4)2 d) v(z) = sin z1 + 1 . z2 Esercizio 4. Sia z0 ∈ C un polo di ordine n per f : C → C e un polo di ordine m per g : C → C. Dimostrare che z0 `e un polo di ordine n+m per f g ed inoltre classificare la singolarit`a z0 per f /g al variare di n ed m. Esercizio 5. Determinare le singolarit` a e calcolare i residui delle seguenti funzioni: 1 (z 2 −1)2 a) f (z) = z+1 z 2 −2z b) f (z) = c) f (z) = 1 sin z d) f (z) = z cos e) f (z) = z z 2 +1 f ) f (z) = 1 z eiz (z 2 +1)2 Esercizio 6. Verificare che z0 = 0 `e singolarit` a essenziale per f (z) = cosh z1 . Esercizio 7. Calcolare i seguenti integrali a) c) Z Z |z|=3 z dz 2 z −1 1 z e dz b) d) ∂[−1,1]×[−1,1] 1 Z Z |z|=2 e−z dz (z − 1)2 1 e z2 dz |z|=1 e) g) Z |z|=3 Z |z|=3 5z − 2 dz z(z − 1) f) sin(z + 1) dz z(z + 1) Z h) z2 |z|=2 Z 1 dz −1 z2 dz (5 + z)(z + i) |z|=2 Esercizio 8. Sia f una funzione meromorfa su C. Si provi che, se f `e pari allora Resa (f ) = −Res−a (f ), mentre, se f `e dispari, allora Resa (f ) = Res−a (f ). Calcolare Z z4 dz 2 2 Γ (z − 1) ove Γ `e il circuito mostrato il figura, percorso una sola volta nel senso della freccia. -2 -1 0 b b b 1 2 b b Esercizio 9. Calcolare l’integrale Z γ 3z 2 − 2 dz, (z − 4)(z 2 + 9) dove γ `e la circonferenza di raggio 5 centrata nell’origine. Esercizio 10. Calcolare l’integrale 1 2πi Z 1 sin2 dz, z C dove C `e la circonferenza di raggio 2 centrata nell’origine. Esercizio 11. Calcolare il seguente integrale Z |z|=2 nz n−1 dz zn − 1 calcolando i residui nei poli della funzione integranda. Esercizio 12. Calcolare con il teorema dei residui i seguenti integrali indefiniti: Sia Q(x, y) = g(x,y) h(x,y) una funzione razionale tale che h(x, y) 6= 0 nei punti della circonferenza unitaria x2 + y 2 = 1, e sia f (z) = ⇒ Z 1 Q( 21 (z+ z1 ), 2i (z− z1 )) . iz 2π Q(cos θ, sin θ)dθ = 2πi 0 X zj dove gli zj sono i poli di f all’interno di x2 + y 2 = 1. 2 Reszj (f ) I= I= I= I= I= I= Z Z Z Z Z Z 2π 0 2π 0 1 dθ 4 cos θ + 5 0 2π i 2 2π 2π √ π a2 −1 π dθ (2 − cos θ)2 0 h con a ∈ R, a > 1 dθ 5 − 3 sin θ 2π 0 0 1 dθ a + sin θ h √ i 4 3π 9 2π con a ∈ R, a > 1 3 (cos θ)2 dθ 2 + sin θ 2π 2 − cos θ dθ 13 + 12 cos θ √ 3 −4π 15 SVILUPPI IN SERIE ez = +∞ n X z n=0 n! sin z = +∞ X (−1)n n=0 sinh z = +∞ X n=0 z 2n+1 (2n + 1)! z 2n+1 (2n + 1)! 3 cos z = +∞ X (−1)n n=0 cosh z = z 2n (2n)! +∞ X z 2n (2n)! n=0