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ESERCIZI DI MATEMATCA DISCRETA
Informatica - A. A. 2014-2015
11 Dicembre 2014
1
Anelli e Gruppi di Permutazione
Esercizio 1. Stabilire gli elementi invertibili e i divisori dello zero nei seguenti
anelli
(Z14 , +, ·),
(Z16 , +, ·),
(Z18 , +, ·).
(Z13 , +, ·),
Esercizio 2. Scrivere le seguenti permutazioni come prodotto di cicli disgiunti e
stabilire se sono pari o dispari.
�
� �
�
1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 2 3 4 5 6 7
,
,
3 2 1 5 6 7 4
2 3 4 1 6 5 9 7 8
�
� �
� �
�
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5 6 7 8
,
,
,
5 4 2 1 3 6
1 2 3 5 4
3 4 1 2 8 7 6 5
(Ovviamente, la prima permutazione e’ un elemento di S7 , la seconda di S9 ...).
Esercizio 3. Si considerino in S7 i seguenti elementi
�
�
�
�
�
�
1 2 3 4 5 6 7
1 2 3 4 5 6 7
1 2 3 4 5 6 7
f=
,g =
,h =
.
3 2 1 5 6 7 4
2 3 4 1 6 5 7
3 4 1 2 5 7 6
Si determini f −1 , g −1 , h−1 , f ◦ g, f ◦ h, g ◦ f, g ◦ h, h ◦ g.
Esercizio 4. Nel gruppo di permutazioni S7 si considerino i cicli:
f = (357), h = (524), g = (37)(2456)
(1)
(2)
(3)
(4)
Calcolare i prodotti f g, gf , f h, hf , hg e gh come prodotto di cicli disgiunti.
Calcolare l’ordine degli elementi f g, gf , f h, hf , hg e gh.
Scrivere le permutazioni associate a f , g e h.
Calolare le composizioni di permutazioni f ◦ g, g ◦ f , f ◦ h, h ◦ f , h ◦ g,
g ◦ h.
Esercizio 5. Nel gruppo di permutazioni S6 determinare l’ordine dei seguenti
elementi, e il sottogruppo da essi generato:
f = (35), h = (124), g = (34)(2456), k = (35)(123), l = (1265).
Inoltre, si determini la permutazione associata ad f, g, h, k e l. (Osservazione: l
ordine e’ il mcm nella scrittura in cicli disgiunti. Nel caso di g e k, la scrittura
non e’ in cicli disgiunti. Pertanto, prima bisogna fare la motliplicazione di cicli,
o considerare la permutazione associata, per scrivere l’elemento come prodotto di
cicli disgiunti e poi calcolare l’ordine.)
1
Nonostante l’impegno, errori, sviste imprecisioni sono sempre possibili, la loro segnalazione `e molto
apprezzata. Tra questi esercizi, alcuni sono stati presi da alcuni testi, o da esami passati. L’aggiunta di
evenutali errori `e opera mia.
1
2
Esercizio 6. Si consideri in S9 la seguente permutazione
�
�
1 2 3 4 5 6 7 8 9
f=
.
3 2 8 1 9 5 6 7 4
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
Scrivere f come prodotto di cicli disgiunti.
Stabilire se f e’ pari o dispari.
Calcolare f ◦ f e f −1 .
Calcolare l’ordine di f .
Calcolare l’ordine del sottogruppo H generato da f .
Calcolare l’ordine degli elementi del sottogruppo H.
Esercizio 7. Si consideri in S9 la seguente permutazione
�
�
�
�
1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 2 3 4 5 6 7 8 9
h=
g=
1 5 9 7 4 6 2 8 3
5 3 4 2 7 9 1 6 8
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
Scrivere h come prodotto di cicli disgiunti.
Stabilire se h `e pari o dispari.
Scrivere l immagine di 3 e 8 tramite g.
Calcolare h−1 .
Calcolare h ◦ g e g ◦ h.
Calcolare l ordine di h.
Calcolare l ordine del sottogruppo generato da h.

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