compito 1 - Dipartimento di Matematica

Matematica con Elementi di Statistica – CTF
Pavia 21.07.2014
nome e cognome:
matricola:
Scrivere le risposte di ciascun quesito negli appositi spazi.
Esercizio 1. (Punti 4) Un’urna contiene 4 palline bianche e 2 palline nere. Si effettuano
due estrazioni con la seguente modalit`a: se alla prima estrazione esce una pallina bianca, la si
rimette nell’urna prima di procedere alla seconda estrazione; se invece alla prima estrazione
esce una pallina nera, si effettua direttamente la seconda estrazione senza rimettere la pallina
nell’urna.
Rappresentando le estrazioni con un grafo ad albero, calcolare:
• la probabilit`a che le palline estratte siano tutte e due nere:
risposta:
1
15
• la probabilit`a che le palline estratte (in ordine qualunque) siano una nera e una bianca:
risposta:
22
45
Esercizio 2. (Punti 7) Nella seguente tabella sono riportati, raggruppati in classi, i dati
relativi al peso (espresso in Kg) di un campione di 200 individui appartenenti a una certa
popolazione. Si suppone che i dati siano distribuiti uniformemente all’interno di ciascuna
classe.
peso p in Kg
40 ≤ p < 50
50 ≤ p < 60
60 ≤ p < 70
70 ≤ p < 80
fi
35
60
80
25
200
Calcolare la media. Usando l’istogramma delle frequenze o l’ogiva di frequenza, calcolare il
primo quartile. (Arrotondare i risultati alla seconda cifra decimale).
media: 59.75
primo quartile: 52.5
Calcolare la percentuale di individui su tutta la popolazione aventi peso minore di 50 Kg.
percentuale: 17.5%
` data la retta di equazione Y = −3X + 2.
Esercizio 3. (Punti 4) E
• Determinare la funzione che in coordinate semilogaritmiche corrisponde alla retta data.
funzione: y =
100
1000x
• Determinare la funzione che in coordinate doppiamente logaritmiche corrisponde alla
retta data.
funzione: y =
100
x3
` data la funzione f (x) = aebx , dove a, b ∈ R sono due parametri.
Esercizio 4. (Punti 6) E
• Determinare i valori di a e b in modo che il grafico di f passi per i punti di coordinate
(0, 3) e (2, 3e−2 ).
b = −1
a=3
• Per i valori di a e b trovati, scrivere l’espressione analitica della funzione inversa di f
e determinarne il campo di esistenza.
f −1 (y) = − ln y + ln 3
campo di esistenza di f −1 : y > 0
• Per i valori di a e b trovati, disegnare un grafico qualitativo di f e di f −1 .
grafici: . . .
Esercizio 5. (Punti 7) Sono date le funzioni f (x) =
√
2x + 3 e g(x) = x − ln x + 1 .
• Determinare il campo di esistenza di f e di g.
campo di esistenza di f : x ≥ − 23
campo di esistenza di g: x > 0
• Calcolare la derivata della funzione g.
g 0 (x) = 1 −
1
x
• Scrivere l’equazione della retta tangente al grafico di g nel punto x = 1.
equazione della retta: y = 2
• Scrivere l’espressione analitica della funzione composta g ◦ f .
√
√
(g ◦ f )(x) = 2x + 3 − ln 2x + 3 + 1
• Determinare il campo di esistenza della funzione composta g ◦ f .
campo di esistenza di g ◦ f : x > − 23
• Trovare i valori di x per cui si ha f (x) < 1.
risposta: − 32 ≤ x < −1

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