TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Voorbeeldtentamen 1 Vectorcalculus voor TEMA (2Y600) De beantwoording van de opgaven is niet compleet zonder duidelijk geformuleerde argumentatie en overzichtelijk opgeschreven uitwerkingen. Mobiele telefoons zijn uit en van tafel. 1. a) Bereken de lengte van de kromme C : r(t) = cos t i + sin t j +t k (0 ≤ t < 2π). b) Geef een parametervoorstelling van de kromme C uit onderdeel a) in termen van de booglengte s, gemeten vanaf het punt (1, 0, 0). 2. De functie f is gedefinieerd door f (x, y) = 2x − x 2 − y 2 . a) Bepaal de vergelijking van het raakvlak aan de grafiek van z = f (x, y) in het punt (0, 0). b) Bepaal het punt of de punten (a, b), waar het raakvlak aan de grafiek van z = f (x, y) horizontaal is. 3. De functie f = f (x, y) is één keer continu differentieerbaar. De functie g is gedefinieerd door g(t) = f (et cos t, et sin t). Bepaal m.b.v. de kettingregel g 0 (t). 4. Bepaal m.b.v. de multiplicatorenmethode van Lagrange de maximum en minimum waarde van de functie f (x, y) = x + 2y op de cirkel x 2 + y 2 = 1. 5. Bereken ZZ 2 e y dA, R waarbij R ⊂ R2 de driehoek is met hoekpunten (0, 0), (0, 1) en (1, 1). 6. Bereken het volume van dat deel van de bol x 2 + y 2 + z 2 = 4 dat binnen de cilinder x 2 + y 2 = 1 ligt. zie volgende pagina 1 7. a) Beschouw het vectorveld F(x, y) = y i +x j . Onderzoek of F conservatief is, en zo ja, bepaal een potentiaal. b) Bereken I y dx + x dy, C waarbij C de cirkel x 2 + y 2 = 2 is, in positieve zin doorlopen (d.w.z. tegen de wijzers van de klok in). 8. Bereken de oppervlakte van dat deel van de bol x 2 + y 2 + z 2 = 4 waarvoor geldt | z |≤ 1. 9. Het vectorveld F is gedefinieerd door F(x, y, z) = x z i +yz j −z 2 k. Bereken m.b.v. de Stelling van Gauss de flux ZZ F ·b N dS, S waarbij S dat deel van het vlak x + y + z = 1 is dat in het eerste octant ligt, en waarbij b N een positieve z-component heeft. Normering 1a. 1b. 2a. 2b. 3. 4. 3 2 2 3 2 4 5. 6. 7a. 7b. 8. 9. 4 5 3 2 5 5 Het cijfer wordt bepaald door het totaal behaalde aantal punten te delen door vier, en het resulaat af te ronden op een geheel getal. 2