Tentamen Inleiding Kansrekening TW1080. 30 juli 2014, 9:00-12:00 • Het t e n t a m e n bestaat u i t 20 onderdelen. M e t elk onderdeel k a n m a x i maal 2 punten verdiend worden. • H e t e i n d c i j f e r x w o r d t berekend als een gewogen gemiddelde v a n het gemiddelde h u i s w e r k c i j f e r y en het t e n t a m e n c i j f e r z, v i a x = ?/(3/10) + ^;(7/10), zoals uitgelegd is op b l a k c b o a r d . • Er m a g g e b r u i k g e m a a k t w o r d e n v a n een A 4 aan beide z i j d e n beschreven f o r m u l e b l a d , naar eigen keuze samen te stellen. • E r m a g g e b r u i k g e m a a k t w o r d e n van een ( m o g e l i j k grafische) rekenmachine. 1. We beschouwen d r i e v r a g e n w a a r v a n het a n t w o o r d j a o f neen lean z i j n . De a n t w o o r d e n op deze drie vragen w o r d e n gemodelleerd door drie B e r n o u l l i verdeelde stochasten X , Y en Z. De i n t e r p r e t a t i e is dat X = 1 (resp. X = 0) betekent d a t het a n t w o o r d op v r a a g 1 j a (resp. neen) is, en analoog v o o r v r a a g 2 (corresponderend m e t Y ) en v r a a g 3 (corresponderend m e t Z ) . Verder is gegeven F{x = 1) = p ( y nz = o) = l 3 P{X = 1\Y = 1) 4 1 p ( X = 1\Z = 1) 4 a) Bereken de kans P(A"' = 1 n Z = 1) b ) Bereken de kans d a t precies é é n van de gebeurtenissen A = 1 of Y = O optreden. c) Bereken de c o n d i t i o n e l e kans ¥{Z = 1\X = 1). d ) Z i j n X en Y o n a f l i a n k e l i j k ? Beargumenteer u w a n t w o o r d . 1 (^^)^ B e w i j s de o n g e l i j k h e i d F{X ^ Y ) < F{X A Z ) + F{Z ^ Y) D i t is de zogenaamde B e l l o n g e l i j k h e i d . 2. D e continue stochast X heeft kansdichtheid gegeven door (4x{l - x'^) i n d i e n x G [0,1] (1) a) Bereken de v e r w a c h t i n g E{X) en de variantie b ) Bereken de f u n c t i e g : [0,1] Var{X). [0,1] zodanig d a t voor U, een u n i f o r m verdeelde stochast op het i n t e r v a l [0,1], g{U) verdeeld is zoals X m e t kansdichtheid gegeven door (1). c) W e beschouwen n u een r i j stochasten X „ , n = 1 , 2 , . . . die on- a f l r a n k e l i j k z i j n en verdeeld zoals (1). T o o n aan d a t e M en (7^ G [O, oo) bestaan z o d a n i g d a t i n verdeling convergeert naar een standaard n o r m a a l verdeelde stochast, en bereken deze n en cr^. d) W e beschouwen dezelfde r i j als i n onderdeel c ) . B e w i j s d a t i n kans convergeert naar een constante als N ^ aan dat cov{XiXi+i, oo. ( H i n t : t o o n X j X j ^ i ) g e l i j k is aan n u l voor \i — j\ > 1, en g e b r u i k d i t o m aan te t o n e n dat de v a r i a n t i e v a n Y^ naar n u l convergeert als A —> oo.) e) Bereken de kans d a t precies 5 v a n de eerste h o n d e r d X i , . . . , kleiner of g e l i j k z i j n aan 1/10 (de stochasten Xi Xwo z i j n hier weer o n a f l i a n k e l i j k en verdeeld m e t kansdichtheid gegeven door ( 1 ) ) . U m a g een benadering u i t r e k e n e n van deze kans, maar v e r a n t w o o r d i n d i t geval de door u gekozen benadering. 3. De stochasten X , Y z i j n o n a f l i a n k e l i j k en standaard n o r m a a l verdeeld, i.e., de gemeenschappelijke kansdichtlieid w o r d t gegeven door fx,Y{x,y) = — e 2 2 e 2 a) T o o n aan d a t X' = {X + Y ) / s / 2 en Y' = {X - Y)/V2 opnieuw twee onaflianlcelijlffi s t a n d a a r d n o r m a a l verdeelde stochasten z i j n . b) T o o n aan dat, geconditioneerd op X-\-Y is m e t v e r w a c h t i n g v/2 = v, X n o r m a a l verdeeld en v a r i a n t i e 1/2. c) Bereken de conditionele v e r w a c h t i n g e n E{X\X en E{X^\X + Y), +Y). d) W e d e f i n i ë r e n de stochasten R, Q als de p o o l c o ö r d i n a t e n v a n { X , Y ) , i.e., X = Rcos{e),Y = i ? s i n ( 0 ) , i? > O, 0 G [ 0 , 2 ^ ] . Bereken de conditionele kans e<f|fl<i U m a g h i e r b i j gebruiken d a t de Jacobiaan ( d e t e r m i n a n t v a n f ^ ^ l y ) voor t r a n s f o r m a t i e naar p o o l c o ö r d i n a t e n , (i.e., x = rcos{9),y = r s i n ( ö ) ) g e l i j k is aan r. 4. A¥e beschouwen een M a r k o v keten m e t 4 toestanden m e t overgangsmat r i x gegeven door p 1 1 2 2 o i oy O O o vo I I a) Bereken de s t a t i o n a i r e v e r d e l i n g en beargumenteer w a a r o m deze u n i e k is. b ) W e s t a r t e n de M a r k o v keten op t i j d s t i p n = O u i t de s t a t i o n a i r e v e r d e l i n g , i.e., P{Xo = i) = jij m e t jii de s t a t i o n a i r e v e r d e l i n g . Bereken de kans P(X5 = 3|X6 = 4 , X 7 = 3). c) I n d i e n we de M a r k o v k e t e n s t a r t e n u i t t o e s t a n d 1, w a t is d a n de kans d a t na t i e n s t a p p e n de t o e s t a n d 1 n o o i t meer bezocht w o r d t ? 5. Z i j n de volgende u i t s p r a k e n j u i s t of f o u t ? Beargumenteer u w a n t w o o r d . a) V o o r een irreducibele M a r k o v k e t e n m e t een e i n d i g a a n t a l toest a n d e n en o v e r g a n g s m a t r i x P geldt a l t i j d dat de v e r d e l i n g i n de l o o p v a n de t i j d naar de unieke s t a t i o n a i r e v e r d e l i n g vr convergeert i.e., v o o r alle beginverdelingen ji g e l d t liniiv-s-oo IJ-P^ = T^3 b) I n een telefooncentrale k o m e n g e m i d d e l d 10 telefoons per u u r b i n nen. Een u u r lang is er geen enkele t e l e f o o n b i n n e n gekomen. D e kans dat d a n i n het volgende h a l f u u r twee telefoons b i n n e n k o m e n is g e l i j k aan 5^e~^/2. c) Xn,n G N is een r i j o n a f l i a n k e l i j k e en g e l i j k verdeelde positieve stochasten waarvoor geldt D a n k u n n e n we besluiten dat voor grote n het gemiddelde ^ benaderend n o r m a a l verdeeld is. 4 XlILi -^i