Januari 2014 - Technische Universiteit Eindhoven

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN
Faculteit Wiskunde en Informatica
Tentamen Kansrekening en Stochastische Processen (2DE18) op vrijdag
24 januari 2014, 14.00 – 17.00 uur.
De uitwerkingen van de opgaven dienen duidelijk geformuleerd en overzichtelijk opgeschreven te worden. Bovendien dient u in alle gevallen uw antwoord te beargumenteren!
Het boek “Probability and Stochastic Processes” van Yates en Goodman en
een niet-grafische rekenmachine zijn toegestaan.
1. Gegeven zijn twee stochastische variabelen X en Y met een simultane
kansdichtheid
(
e1−y ,
1 ≤ x ≤ y,
f X,Y (x, y) =
0,
anders.
a) Bepaal de marginale kansdichtheden f X (x) en f Y (y) van de stochastische variabelen X en Y .
b) Bereken de verwachting van de stochastische variabele Y .
c) Bereken P(X ≤ 3, Y ≥ 2).
d) Bepaal de conditionele verwachting E(X | Y = 3).
e) Bepaal de cumulatieve verdelingsfunctie FW (w) van W = Y − X .
2. Stochastische variabele X is exponentieel verdeeld met parameter λ =
1/2. Definieer daarnaast Y = g(X ) met
(
2,
als x ≤ 2,
g(x) =
x,
als x > 2.
a) Is Y een discrete, continue of gemengde stochastische variabele?
Motiveer uw antwoord. Geef cumulatieve verdelingsfunctie en kansdichtheid of kansmassa functie van Y .
b) Bereken E[Y ].
c) Bereken de moment genererende functie van Y .
d) Laat B de gebeurtenis zijn dat {X > 2}. Bereken E[Y |B].
3. Gegeven is een zwak (= wide sense) stationair stochastisch proces X (t)
met verwachting µ X en autocorrelatie functie R X (τ ). Het proces Y (t)
wordt als volgt uit het proces X (t) verkregen: Y (t) = X (1 − t).
a) Druk de verwachting en de autocorrelatie functie van het proces Y (t)
uit in termen van µ X en R X (τ ). Is het proces Y (t) zwak stationair?
Motiveer uw antwoord.
b) Druk de kruiscorrelatie functie van de processen X (t) en Y (t) uit in
termen van R X (τ ). Zijn X (t) en Y (t) gezamenlijk zwak stationair?
Motiveer uw antwoord.
4. Beschouw een zwak stationaire stochastische rij Z n met, voor alle n,
E[Z n ] = 0 en Var[Z n ] = 4, en waarbij voor alle i en j met i 6= j geldt
dat Z i en Z j onafhankelijk zijn. We analyseren de vergelijking
X n = Z n + Z n−1 − 2Z n−2 ,
n = . . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . . .
a) Bepaal E[X n ] en Var[X n ].
b) Bepaal de autocorrelatiefunctie en de spectraaldichtheid van X n .
c) Bepaal kruiscorrelatie en kruisspectraaldichtheid van Z n en X n .
Voor de vraagstukken kunnen de volgende aantallen punten worden behaald:
Vraagstuk 1. 10 punten
Vraagstuk 2.
8 punten
Vraagstuk 3.
5 punten
Vraagstuk 4.
7 punten
Het cijfer wordt bepaald door het totaal der behaalde punten door 3 te delen.

Download Report