Laat duidelijk zien hoe u aan de antwoorden gekomen bent.

Toets 3 Calculus 1 voor MST, 4501CALC1Y
donderdag 9 oktober 2014; 13:45-15:45 uur
Technische Universiteit Delft, Faculteit EWI
Naam:
Groep (omcirkel):
Leids studienummer:
A (M. Keijzer) / B (P.M. Visser) / C (J.T. van Essen)
Een rekenmachine en het formuleblad bij deze cursus mogen gebruikt worden.
Laat duidelijk zien hoe u aan de antwoorden gekomen bent.
Het cijfer is de som van het aantal behaalde punten plus 2, gedeeld door 2.
Met ‘bereken’ wordt ‘bereken exact’ bedoeld.
1p
1. (a) Zet de volgende integraal in x met behulp van de substitutie x = sin(u)
(met − π2 < u < π2 ) om in een integraal in u.
Bewijs hiermee, zonder de afgeleide
Z van arcsin(x) te gebruiken,
1
√
dx = arcsin x + C.
een regel van het formuleblad:
1 − x2
Z
2p
(b) Bereken
0
1
2
√
2
2x
√
dx
1 − x4
Z
2p
2. (a) Bereken
π
t2 cos(2t) dt
0
Z
2p
(b) Bereken
x3
Z
2p
(c) De integraal
4
dx
+ 4x
1
1
1
0
(1 − x) 4
dx is oneigenlijk (‘improper’).
Waarom?
Bereken, indien mogelijk, de integraal.
3. Bepaal van de volgende reeksen of ze convergent, dan wel divergent zijn.
Als een reeks een convergente meetkundige reeks is, bereken dan ook de som.
2p
(a)
∞
X
n=0
arcsin(
n−1
)
n
1 3 9
3n
− + + · · · + (−1)n n+1 + · · ·
2 4 8
2
2p
(b)
2p
∞ X
1
1
(c)
−
n n+2
n=1
1p
1p
4. (a) Voor een ellips in het xy-vlak geldt de vergelijking x2 + xy + y 2 = 3.
Bereken een vergelijking voor de raaklijn aan de ellips in het punt (1, 1).
(b) De rij (‘sequence’) {an } is convergent.
r
{an } wordt recursief gedefinieerd door
Bereken
1p
lim an .
2
,
an
met
a0 = 1.
n→∞
(c) De rij {bn } wordt gedefinieerd door
Bestaat
an+1 =
bn+1 =
lim bn ? Motiveer uw antwoord.
n→∞
2
,
(bn )2
met
b0 = 1.

Download Report