Proeftentamen Functies en Reeksen 28 oktober 2014, 3 uur Schrijf op ieder vel je naam en bovendien op het eerste vel je studentnummer, de naam van je practicumleider (Arjen Baarsma, Ka Yin Leung, Roy Wang) en het aantal ingeleverde vellen. Geef niet alleen antwoorden, maar laat ook zien hoe je aan die antwoorden gekomen bent. N.B. Als je een stelling uit het dictaat gebruikt, vermeld dat dan en laat ook expliciet zien dat de voorwaarden van die stelling vervuld zijn. N.B. Als je een onderdeel van een opgave niet kunt maken, ga dan toch door met de volgende onderdelen. Je mag daarbij de in eerdere onderdelen verschafte informatie gebruiken. Rekenmachine, diktaat en aantekeningen mogen niet worden gebruikt. Alle 5 opgaven tellen even zwaar. Succes ! Opgave 1 10 pt Van een functie f W R2 ! R is gegeven dat f .x; y/ D 1 C x 3y C xy y 3 C r.x; y/; met jr.x; y/j 4.x 2 C y 2 /; voor alle .x; y/ 2 R2 : Toon aan dat f totaal differentieerbaar is in .0; 0/ en bepaal Df .0; 0/: Opgave 2 3 pt (a) Toon aan dat R 1de functie h W t ‘ .1 C t/ en bepaal 0 h.t/ dt: 2 3 pt (b) Toon aan dat door Z f .x/ D 4 pt oneigenlijk Riemann-integreerbaar is op Œ0; 1Œ; 0 1 cos.xt/ dt .1 C t/3 een continue functie f W R ! R gedefinieerd wordt. (c) Toon aan dat f continu differentieerbaar is en dat jf 0 .x/j 1 voor alle x 2 R: ZOZ 1 Opgave 3 Voor k 1 defini¨eren we de functie gk W Œ0; 1Œ ! R door p x2 C k : gk .x/ D x C k2 4 pt (a) Zij R > 0: Bewijs dat er een constante C > 0 bestaat zo dat voor elke k 1 de sup-norm van gk over Œ0; R geschat wordt door kgk kŒ0;R 3 pt 3 pt (b) Bewijs dat door g D C : k 3=2 P1 gk een continue functie op Œ0; 1Œ gedefinieerd wordt. P (c) Laat zien dat voor elke k 1 geldt kgk kŒ0;1Œ 1: Is de reeks k1 gk uniform convergent op Œ0; 1Œ? kD1 Opgave 4 Bepaal voor elk van de volgende machtreeksen de verzameling van alle z 2 C waarvoor hij convergeert: 2 x 5 pt .a/ X n.z n1 i /n 2n I .b/ X .1 C i/n z n n2 n1 : Vergeet daarbij niet het gedrag op de convergentiecirkel apart te onderzoeken. Opgave 5 Voor 0 a beschouwen we de 2-periodieke functie fa W R ! R die op Œ ; gedefinieerd is door 1 als jxj a; fa .x/ D 0 als jxj > a: 3 pt 4 pt (a) Bepaal de Fourier-co¨effici¨enten F.fa /k voor alle k 2 Z: (b) Bewijs dat a D a2 C 2 3 pt (c) Bewijs dat 1 1 X .sin ka/2 kD1 k2 X 1 2 D : 8 .2n C 1/2 nD0 2 :