電磁気学C

電磁気学C
Electromagnetics C
7/13講義分
電磁波の電気双極子放射
山田博仁
確認事項
今後のスケジュール
・ 7/13(第12回目) 電気双極子による電磁波の放射
・ 7/20(第13回目) 電気双極子による電磁波の放射 (第3回レポート締め切り)
・ 7/27(第14回目) 点電荷による電磁波の放射、まとめ
・定期試験 8/3(金)10:30～12:00 場所:202講義室持込は一切不可
成績評価
a) 出席点: 2点×14回
b) レポート 8点×1回、12点×2回 (6/1, 7/6予定 )
c) 定期試験: 40点
a), b), c) の合計で、60点未満D(不合格)
60点以上70点未満C
70点以上80点未満B
80点以上90点未満A
90点以上AA
得点の補正は行いません
追試、再試も行いません
遅延ポテンシャル
空間領域 V の中の電荷分布 re(x’, t’)または電流分布 ie(x’, t’)が、時間的に激しく
変動すると、周りの空間に電磁波が放射される。
x (x, t)
その時、領域 V から離れた点 x での遅延ポテンシャルは、
A(x, t)
re ( x', t' )
1
3
 ( x, t ) 
d
x'
 (1)

V
4 0
x  x'
r
R = | x - x’|
0
i
(
x'
,
t'
)
3
e
A( x, t ) 
d
x'
 (2)

V
4
x  x'
re(x’, t’)
ie(x’, t’)
x  x'
O x’
 (3)
ここで、 t'  t 
V
c
で表される。
ただし、電荷や電流分布が存在しない場所は真空としている。
そこで、(1)式および(2)式の右辺の積分を実行すれば、電磁ポテンシャルが求まる。
しかし、多くの場合、この積分を解析的に実行することはできない。
そこで、静電場の時と同様に、電荷分布や電流分布が、原点 O の付近のごく限ら
れた領域にのみ存在すると仮定して求めることにする。
電磁ポテンシャルの電気双極子近似
図に示す様に、電荷分布の存在する領域が、原点 O を中心とする半径 a の球内
に限られているとし、観測点 x の原点 O からの距離 r = |x| が r≫a の条件を満た
していると考えて、(1)式の被積分関数を x’/r のベキに展開する。
(x) x
このとき、
 x  x' 
R  x  x'  r 2  2 x  x ' x '2  r 1  2 
 (4)
r


従って、
r
R = | x - x’|
1
1
1  x  x' 

 1  2 
 (5)
と近似できる。
R x  x' r 
r 
a
静電場の場合と違って、距離 Rは電荷分布 re(x’, t’)の中の
O x’
t’ にも含まれるので、これを展開して、

R
1
x  x'  
x  x' 

  r e  x' , t   r 
   r e  x' , t0 

c
c
r
cr





r ( x' , t0 ) x  x '
 r e ( x' , t0 )  e


t0
cr
r
ただしここで、
t0  t 
 (7 )
c


r e  x' , t 
 (6)
電磁ポテンシャルの電気双極子近似
(7)式の t0 は、原点 O から発信された電磁波が時刻 t に観測点 x に到達するた
めに、原点 O を出発しなければならない時刻を表している。
(5)式および(6)式を(1)式に代入し、a/r に関して1次までを考慮し、それ以上を無視
すると、
r e ( x', t' )
1
3
 ( x, t ) 
d
x'
4 0 V
x  x'
 1  x  x'  

r e ( x' , t0 ) x  x '

d x'  1  2   r e ( x' , t0 ) 

  
4 0 V
r
r

t
cr

0

 
1 1
1 x
3
3

r
(
x'
,
t
)
d
x'


x
'
r
(
x'
,
t
)
d
x'
e
0
e
0
3
4 0 r V
4 0 r V
1

3
r e ( x' , t0 ) 3
x

x
'
d x'  
2 V
4 0 cr
t0
と書かれる。
1
 (8)
電磁ポテンシャルの電気双極子近似
ここで、右辺第1項の
Qe   r e ( x' , t )d 3 x'
 (9)
V
は、領域 V 内に存在する全電荷量を表しており、伝導電流が V 内のみに存在する
ことから、V の内外への電流の出入が無いため、時間 t に依存しない一定値となる。
次に、右辺第2項の
p(t )   x'r e ( x' , t )d 3 x'
 (10)
V
は、広義の電気双極子モーメントである。
また、右辺第3項では

V
である。
x'
r e ( x' , t ) 3
d
d x' 
t
dt

V
x'r e ( x' , t )d 3 x' 
dp(t )
dt
 (11)
(9), (10), (11)式を用いると(8)式は、
 ( x, t ) 
と表される。
1 Qe
1 x  p(t0 )
1 x  p (t0 )



3
2
4 0 r 4 0
r
4 0 cr
ここで、 p (t )  dp(t ) dt である。
 (12)
電磁ポテンシャルの電気双極子近似
このように近似されたスカラー・ポテンシャルを、電気双極子近似におけるスカラー・
ポテンシャルという。
次に、(2)式のベクトル・ポテンシャルは R を r に置き換えることにより、
 1
 p (t0 )
A( x, t )  0  ie ( x' , t0 ) d 3 x'  0
 (13)
V
4 r
4 r
と近似される。
⇒
この式の導出は、各自でやってみて下さい。
このような電磁ポテンシャルに対する近似式(12), (13)を用いて、これを時間変数
t および空間変数 x で微分することにより、電磁場 E(x, t)および B(x, t)が求まる。
(12)式の右辺第1項は、点電荷 Qeのつくる静電場を与えるだけであるから、以下で
はこの項からの寄与は考慮する必要はない。まず第2項を x について微分すると、
 x  p(t0 ) p(t0 ) x   1 

 x



p
(
t
)

x

p
(
t
)



0
0  3
x r 3
r 3 x  x r 3 

x

 r
p (t ) 3x
 x  x  p (t0 )
 x 3 0  5 p(t0 )  x    
 (14)
3
r
r
 cr  r
となる。
電磁ポテンシャルの電気双極子近似
従って(14)式から、
 grad
である。
x  p(t0 )
p(t0 )
x ( x  p(t0 )) x ( x  p (t0 ))



3

3
3
5
r
r
r
cr 4
 (15)
次に(12)式の右辺第3項を x について微分すると、
 x  p (t0 ) p (t0 ) x 1
 1 x 




p
(
t
)

x
 2   2  p (t0 )
0
2
2
x cr
cr
x c
x  r  cr x
p x (t0 ) 2 x
x x  p(t0 )



p(t0 )  x 
 (16)
cr 2
c r4
cr cr 2
となるから、
 grad
x  p (t0 )
p (t0 )
x ( x  p (t0 )) x ( x  p(t0 ))



2

cr 2
cr 2
cr 4
c2r 3
 (17 )
また(13)式より、

 1
 1 
 1
A( x, t )
(t  r / c)
 0
p (t0 )   0
p (t0 )
  0 p(t0 )
t
4 r t
4 r t0
t
4 r
 (18)
電磁ポテンシャルの電気双極子近似
そこで(15), (17), (18)式を以下の式に代入すると電場 E(x, t)は、
A( x, t )
 grad ( x, t )
t
1  p(t0 ) 3 x ( x  p(t0 )) p (t0 ) 3 x ( x  p (t0 )) p(t0 ) x ( x  p(t0 )) 

 3 


 2 
5
2
4


4 0  r
r
cr
cr
cr
c 2r 3

E ( x, t )  
 (19)
で与えられる。
一方、磁場 B(x, t)は次のように計算される。
B( x, t )  rot A( x, t ) 
0
4
 x  p (t0 ) x  p(t0 ) 

3

r
cr 2 

 (20)
電磁ポテンシャルの電気双極子近似
電気双極子近似における電磁場(19), (20)式とを、 p, p および p に比例する部分
に分割し、それぞれの部分の電磁場を E(0)と B(0), E(1)と B(1)および E(2)と B(2)で表
すと、それらは次式のように書き表される。
E ( 0 ) ( x, t ) 
1  p(t0 ) 3 x( x  p(t0 )) 
 3 


4 0  r
r5

B(0) ( x, t )  0
 (22)
1  p (t0 ) 3 x( x  p (t0 )) 



4 0  cr 2
cr 4

 p (t0 )  x
B (1) ( x, t )  0
4
r3
E (1) ( x, t ) 
E ( 2 ) ( x, t ) 
1  p(t0 ) x( x  p(t0 )) 
 2 


4 0  c r
c2r 3

B ( 2) ( x, t )  
 (21)
0 x  p(t0 )
4
cr 2
 (23)
 (24)
 (25)
 (26)
電磁場の物理的意味
ここで、これらの電磁場の物理的意味を考える。
電場 E(0)(x, t)は、電気双極子 p(t0)が観測点 x につくる電場
(何故なら、教科書 p.23 における電気双極子の作る静電場の式(2.45)から
容易に類推可能)
電場 E(1)(x, t)は、電荷分布の移動によってつくられる電気双極子にもとづく電場
磁場 B(1)(x, t)は

B ( x, t )  0
4
(1)

V
ie ( x' , t0 )d 3 x'  x
r3
 (27)
と書き直されるので、定常電流に対するBio-Savart の法則の観測点を遠方に
おいたときの近似式に他ならない。
電場 E(2)(x, t) および磁場 B(2)(x, t)が、遠方まで伝搬可能な電磁波
電磁場の物理的意味
今、電気双極子 p(t)が周期 T で振動しているとすると、それに伴って発生する電
磁波の波長は cT で与えられる。この時、(21)～(26)式の電磁場はだいたい次の
程度の大きさをもつことが分かる。
E (0) 
1
p
3
r
静電磁場
E (1)  cB (1) 
1 p
r 2 cT
誘導電磁場
E ( 2)  cB( 2) 
1 p
r (cT ) 2
放射電磁場
今、r≫cT の条件を満たしているとき、つまり、原点 O から観測点までの距離 r が
電磁波の波長 cT に比較して非常に大きいときを考える。このような領域を波動
域(wave zone)といい、この領域でも残るのは放射電磁場だけであることが分かる。

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