計量経済学 I 補足資料 4 2011 年 6 月 15 日担当原ガウス・マルコフの定理の証明重回帰モデルの最小二乗推定量のガウス・マルコフの定理の証明を与える. βˆ = CY を β の線形不偏推定量とする. 不偏性から, E[CY ] = CE[Y ] = CE[Xβ + ǫ] = CXβ = β がすべての K 次元ベクトル β について成り立つことより, CX = IK . OLSE は b = (X ′ X)−1 X ′ Y であった. 記法の簡便のため, A = (X ′ X)−1 X ′ とおくと, b = AY と書き換えることができる. また b も不偏推定量であることから, AX = IK . ここで D := C − A とすると, βˆ = CY = (A + D)Y . また, CX = (A + D)X = IK より DX = 0. ここで βˆ の共分散行列は, ˆ = V [CY ] V [β] = CV [Y ]C ′ = (A + D)V [Y ](A + D)′ と書ける. V [Y ] = V [ǫ] = σ 2 IT であることに注意すると (A + D)V [Y ](A + D)′ = σ 2 (A + D)(A + D)′ = σ 2 (AA′ + DD ′ + AD ′ + DA′ ). ここで, AD ′ = (X ′ X)−1 X ′ (C − (X ′ X)−1 X ′ )′ = (X ′ X)−1 X ′ (C ′ − X(X ′ X)−1 ) = (X ′ X)−1 ((CX)′ − (X ′ X)(X ′ X)−1 ) = (X ′ X)−1 (IK − IK ) = 0. また DA′ = (AD ′ )′ = 0. したがって, V [β] = σ 2 (AA′ + DD ′ ). D = 0 のときが OLSE であることから, V [b] = σ 2 AA′ . これより V [β] − V [b] = σ 2 AA′ . となるが, これは行列の回で学んだように非不定値行列なので, 対角成分がすべて正. これは b の各要素の分散が, β の各要素の分散より大きくはならないことを意味する. すなわち OLSE b の各要素の分散は, 線形推定量の中で最小になる. • 補足資料 2 で見た単回帰モデルのガウス・マルコフの定理の証明と比較してみるとよい. • この定理は ǫ の正規性の仮定には依存しないが, 等分散性, 無相関性には依存する. 等分散性, 無相関性の仮定を外した場合, この証明のどこが破綻するか考えよ.