第3回資料（2）（09/26 up）

0. 流体の力学的エネルギー保存 −ベルヌイの定理−
流体が持つ力学的エネルギーの保存関係を表すベルヌイの定理（Bernoulli’s theorem）
は，流体の運動方程式から導かれる．以下では簡単のため，非粘性流体の定常二次
ベクトル演算子 grad は，スカラー
に作用してベクトルを作る．具体
元流れを考える．この場合，流体の運動は Euler の運動方程式
的には，スカラー A が x，y ，z
の関数であるとき，
grad A =
∂A
∂A
∂A
i+
j+
k
∂x
∂y
∂z
となる．すなわち grad A は，A
を x，y ，z で偏微分したものを x，
y ，z 成分にもつベクトルである．
ux
∂ux
∂ux
∂uy
∂uy
1 ∂p
1 ∂p
+ uy
=−
+ Fx ， ux
+ uy
=−
+ Fy
∂x
∂y
ρ ∂x
∂x
∂y
ρ ∂y
(1)
によって記述される．いま，(1) の第一式に ux ，第二式に uy を乗じて辺々の和を
とると，
( ∂u
( ∂u
∂uy )
∂uy )
x
x
+ uy
+ uy ux
+ uy
ux ux
∂x
∂x
∂y
∂y
=−
1 ( ∂p
∂p )
ux
+ uy
+ u x Fx + u y Fy
ρ
∂x
∂y
(2)
のようにまとめることができるので，これを整理して
ux ·
∂p )
∂ ( u2x + u2y )
∂ ( u2x + u2y )
1 ( ∂p
+ uy
+ uy ·
= − ux
+ ux Fx + uy Fy
∂x
2
∂y
2
ρ
∂x
∂y
を得る．さらに，q 2 ≡ u2x + u2y とおき，ベクトル演算子を用いて上式を表せば，
( q2 )
1
u · grad
= − u · grad p + u · F
2
ρ
(3)
となる．ここで，流体がバロトロピー流れであると仮定する．バロトロピー流れの
場合，密度は圧力のみの関数となるので，次式のような積分量を定義できる．
∫
p
P (ρ) =
p0
圧力関数は p の関数であるから，
∂P
dP ∂p
1 ∂p
=
=
∂x
dp ∂x
ρ ∂x
同様に 1 ∂p
∂P
=
∂y
ρ ∂y
∂P
1 ∂p
=
∂z
ρ ∂z
dp
ρ
これを圧力関数（pressure function）という．また，流体に作用する外力 F が保存
力であれば，F = −grad ϕ を満たすポテンシャル ϕ が存在する．以上の条件のも
とで，(3) を整理すれば，
( q2
)
u · grad
+P +ϕ =0
2
の関係が得られる．これは，全エネルギーのこう配（ grad でまとめられたベクト
ル量）と流速ベクトル u とが直交することを意味している．したがって，ベクト
したがって，
1
grad p = grad P
ρ
ル grad（ · · · ）の流速ベクトルに沿う成分は 0 になるから，流線方向を s とすれば，
)
∂ ( q2
+P +ϕ =0
∂s 2
が成立する．すなわち，流線に沿って s 方向に上式を積分すれば，その値は定数
となるので，
q2
+P +ϕ=C
2
を得る．これを Bernoulli の定理という．定数 C は流線ごとに定まる定数である．
1

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