統計学第９回西山第８回目のまとめサンプルの結果から母集団の平均信頼係数  P ①  Z  ① を推定する方法   X   ①    P  ① サンプルの平均は母集団の平均を 2    n   中心にまとまる傾向 2 2     P X  ①     X  ① サンプルの平均のばらつきを求める  n n  のが鍵です     再確認前回の練習問題【１‘】ある高校の1年生からランダムに5名を選んで100メートル走の記録をとると、 12.32、15.28、14.19、13.72、13.26 だった。次の解答を完成させなさい。 X  13.75 ˆ 2  1.205 解答０．６８  P 1  Z  1   P13.75   ・ 1.205 ・5    13.75  ・ 1.205   5   P　    １３．２６ X  13.75 ˆ 2  1.205 １４．２４宿題１限目のみ正規母集団から無作為にとった5個のデータ１７１、１７９、１６４、１７４、１７０を得た．このデータから母集団の平均値を推定しなさい．信頼係数は９５％とする．ヒント：標本平均＝１７１．６不偏分散＝３０．３前提不偏分散は母集団の分散に一致している宿題（例題42）の解答正規分布を使って回答する 0.95  P 1.96  Z  1.96   X    P  1.96   1.96 2    n   2 2       P X  1.96    X  1.96   n n    30.3 30.3    P171.6  1.96    171.6  1.96  5 5    P166.8    176.4 教科書157ページの例題４２ではT分布を利用今日の目標 • 正規分布は使うのはまずい • T分布の使い方 • T値は標準値とほぼ同じ教科書： T分布の定義→128頁 T値を使った推定→156頁いままでの方法の何が問題か？不偏分散はあくまでサンプルの結果全体を調べて出したわけではないあてにならない不偏分散は信用できるか！？母集団が分散100としても <= 0 700 600 500 400 300 200 100 0 これはカイ二乗分布の形です 25 -5 0 75 -1 00 12 515 0 17 520 0 22 525 0 27 530 0 32 535 0 37 540 0 42 545 0 47 550 0 頻度標本分散の分布不偏分散の確率分布データの分散の値全体分散σ2 分布の中心が正しいというだけです 10人の結果ですから、当然、誤差が混じっています見ているのは標準値ではない！データ値右のボタンを押してから分布の種類と毎回のデータ数、抽出反復回数を指定してください。実験開始！ N(170,102) 176.47  170 Z  1.45 100 5 1回目 2回目 3回目 4回目 5回目母集団はデータ1 データ2 データ3 データ4 データ5 標本平均 173.68 175.80 162.41 172.88 170.54 171.06 166.14 167.60 173.54 156.80 176.06 168.03 174.63 174.21 179.96 165.47 162.86 171.43 168.56 178.42 156.45 166.28 183.43 170.63 185.21 185.46 174.02 159.31 178.34 176.47 Z 176.47  170 100 5  1.45 T 176.47  170  1.35 115.29 5 分散不偏推定 26.93 56.14 49.90 112.18 115.29 T値 0.46 -0.59 0.45 0.13 1.35 それは正規分布ではない   X   0.90  P 1.645  Z  1.645  P  1.645   1.645 2 ˆ / n   不偏分散には誤差がある正しい標準化ではない！標準化のように見えて T値と呼んでいます正規分布の変数 その平均値カイ二乗分布の変数/ データ数実は、この値の確率法則が分かっています。ステューデントのT分布！ T値の発見 T X  ˆ 2 n Gosset, W. S. サンプルから求めた不偏分散を、母集団の分散の代わりに使う 1906年にペンネームStudentでT分布の存在を発見しました正規分布÷カイ二乗→T分布 T分布は正規分布とカイ二乗分布の子どもです。フィッシャーが1920年までに数学的基礎を与えました。 Fisher, R.A. T Z  2 k Tの値は自由度ｋのT分布 k たとえて言えば 2個のサイコロを振って出た目を割り算する６、２ 1個目のサイコロの目 2個目のサイコロの目 6   4.25 2 この値の確率分布はわかりますか？『 T分布』のポイント T値の標本分布 1200 1000 データ：5個 800 平均値分散標準偏差最大値最小値 600 400 200 0 ～ 1 2 ～ 3 4 ～ 5 6 ～ 7 8 ～ 9 -1 ～ -3 2 ～ -5 4 ～ 6 ～ -7 0 8 頻度 R.A.Fisher T値 0.0166 1.9796 1.4070 9.2665 -7.5530 正規分布に似ています平均はゼロ分散は１より相当大きい！ 2シグマ、3シグマの法則は通じない．極端な値になりやすい． N－1が鍵になること.自由度. となると、T値の数値表がいる９０％圏９５％圏これは自由度例題正規母集団から無作為にとった5個のデータ１７１、１７９、１６４、１７４、１７０を得た．このデータから母集団の平均値を推定しなさい．信頼係数は９５％とする．ヒント：標本平均＝１７１．６不偏分散＝３０．３前提不偏分散は母集団の分散に一致している例題の解答 T分布を使って回答する：自由度＝データ数－１ 0.95  P 2.776  T  2.776 自由度＝４   X    2.776  P  2.776  2   ˆ n    2  2  ˆ ˆ       X  2.776  P X  2.776  n  n   30.3  30.3     171.6  2.776  P171.6  2.776 5  5   P164.8    178.4 データ数が10個以下のときはT分布を必ず使うべし練習問題【１】ある大学の学生を対象に10名をランダムにとり身長のデータをとると結果は X  167.2 ˆ 2  10 2  100 全学生の平均はいくら位か９０％信頼区間を求めなさい．データ数が10個以下のときはT分布を必ず使うべし【１】の解答―はじめが大事です 0.90 0.90 自由度＝１０－１  P 1.833  T  1.833T値を使うときは自由度  P －①  T  ①  がいくらになるかが鍵！   X     P 1.833   1.833  2 X  ˆ / n     P－①   ① 2   ˆ 2 ˆ 2  ˆ      X  1.833   P X  1.833   n n    n    あとはデータの結果を代入して同じように・・・  100 100    P167.2  1.833     167.2  1.833   10 10    P161.4    173.0 練習問題【２】宿題（Ⅱ限目のみ）ある高校の1年に在学する生徒から無作為に9名を選んで 100メートル走の記録をとると以下のようになった。測定単位は秒である。 12.32, 15.28, 14.19, 13.72, 13.26 14.08, 14.06, 11.82, 12.80 学年全体の平均タイムを信頼係数９５％で推定しなさい。 X ˆ 2  13.50  1.14