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KURENAI : Kyoto University Research Information Repository
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巨視的量子現象と散逸(第3回『非平衡系の統計物理』シ
ンポジウム(その1),研究会報告)
高木, 伸
物性研究 (1996), 66(1): 115-130
1996-04-20
http://hdl.handle.net/2433/95717
Right
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Departmental Bulletin Paper
publisher
Kyoto University
｢
第 3回『
非平衡系の統計物理』シンポジウム｣ (
その 1)
｢
巨視的量子現象と散逸｣東北大･理･物理
高木
伸
0
.序
量子力学 (
QM ;場の量子論を含む) が現在の病理学的静織の基本枠組であることは万
人が静める所であろう｡超ミクロから超マクロまで､実験的検証の可能性を遥かに超えた気
の遠くなるような外挿理給が､この枠組内で論じられている｡しかし､これを究極の土俵と
して受け入れるのはためらわれる｡猶問題が存在するからである｡
r
巨視的量子現象 (
MQP-Ma
c
r
o
s
c
o
pi
cQua
nt
um Phe
ho
me
na)｣の研究は､猫問題に
対する一つのアプローチである｡猫問題は QM と MR .
(
Ma
c
r
oRe
a
l
i
s
m ;巨視的実在論 ) の
対立であり､この対立は､線形結合状態が微視的レグェルから巨視的レグェル - と伝染す
MMM;Mi
c
r
o
t
o
･
Ma
c
r
oMa
g
n
i
ic
f
a
t
i
o
n)により生ずる｡しかし､ MMM は｢
QM が巨
る (
視的レグェルに於いても妥当である｣との仮定に基づく｡この仮定を実証的に点検しよう､
･
MQP研究のプログラムとして提唱されたのが Le
g
g
e
t
t構想 (
LP;Le
g
g
e
t
t
という由点から､
Ta
k
a
i,Ka
g
ga
n ;以下 Ⅰと呼ぶ】にまとめ
k
Pr
o
g
r
m )である｡そ ?概要については･別の所【
a
ておいたのでそれを参照して頂きたい｡重複を避けるため､以下では Ⅰを補足する形で､そ
の個々の論点について少し立ち入った議論を試る｡ (
同一著者の筆になる異なる出版物が内
容的に殆ど重なっている､という例が頻見される｡国内研究会報告､国際集会プロシーディ
ua
r
t
e
tはざらである｡皇だけ増えて有効情報量は殆ど増えず､
ング､レター､本論文という q
煩わしい｡多少止むを得ない点はあるにしても好ましくないと自戒をこめて想う｡できるだ
けS
c
hmi
dt方式を採り､書き物の内容の直交化を図りたい｡)
1
.MQP と散逸 :一般的なコメント
MQP研究を QM の側に立って見れば､どの程度に巨視的なレグェルまで量子力学的現
象の存在を確認し得るか､という挑戦である｡つまり､出来るだけ量子力学的 C
ohe
r
e
nc
eが
e
c
o
he
r
e
nc
eの効果を極力抑
保たれるような静態な韓境を用意することを目指す. いわゆる d
えたい｡そ ?ためには d
e
c
o
he
r
e
nc
eの効果を明確に同定する必要があり､従って MQP研究
はd
e
c
o
he
r
e
nc
e研究と切り離すことが出来ない､という訳であるl
oMQPの立場は､｢
QM の
MDSの非存在を (
既定の事実とみなして) QM の枠内で証
普遍的妥当性を承認し､かつ QI
明 (
納得) しよう｣という伝統的立場 (
DCS;De
c
o
he
r
e
nc
ea
ndCl
a
s
s
i
c
li
a
z
a
t
i
o
nSc
hool
)と
方向性を逆にするものであると言える｡しかし､対象とする現実の系および物理･数理的考
え･技術は両者に共通である｡ちなみに､散逸 (
すなわち､選別された少数の巨視的自由度
(
"ェリート自由度 ") から多数の微視的自由度 (
"大衆自由度 ") - のエネルギー (を初
めとする準保存量) の非可逆的移行 ) は d
e
c
o
he
r
e
nc
eの機構の､重要ではあるが､一部であ
-1
1
5-
研究会報告
る｡一般に
De
c
o
he
r
e
nc
e-Di
s
s
i
pa
t
i
on+De
pha
s
i
ng.
この DDD公式は､古来よりMR (
ma
g
ne
t
i
cr
e
l
a
xa
t
i
o
n)理論において静識されている【
Bl
od;
Kubo
Tbmi
t
a;e
t
c
.
】
｡ 3節参照｡
2.De
c
o
he
r
e
nc
e
可干渉性 )に否定詞を付けたこの言葉が頻りに使われ始めたのは 1
9
8
0年代
Co
he
r
e
nc
e
(
l
l
Ma
nnと Ha
r
t
l
e【
Ge
l
l
Ma
nnHar
t
l
e
】の共著論文以降と思われる (
最近で
後半に現れた Ge
はn
o
nde
c
o
he
r
e
nc
eという妙な青葉さえ見かける)｡しかし､その基本的考え方自体は QM
の歴史と同じくらい古くより存在する｡一言で云えば､｢
MMM に伴って DDD が同時進行
するから､ QI
MDSは実際上検出不可能｣という考えである｡なお､QI
MDSに限らず､微
e
c
o
he
r
e
nc
e
｣を糞り得る｡ (ここでは｢
環境｣
視的に異なる二状態間の干渉も｢
頻境による d
という青葉を､対象とする巨視系 (
例えば猫) の多数の｢
内部自由度｣ (
生と死を区別する
以外の自由度) をも含んだ意味で用いている｡) 巨視的な場合には､.それが不可避かつ致命
的である､というのが｢
伝統的立場｣の趣旨である｡ (これに続いて､｢
従って､ AND は事
真上 (
"
ForAl
lPr
a
c
t
i
c
l Pur
a
pos
e
s
")ORと同じである｣と論じられることが多いが､この
ような議論 (
"
FAPPa
rg
ume
nt
")によって TAO 問題が解消する訳ではない｡)
ただし､Ce
l
l
Ma
n nHa
r
t
l
e
,Omne
s
,Ya
m adaおよびそれらの先駆者 Gr
i
氏t
hs
,等によっ
て研究されている非干渉性歴史 (
Do
ni
nt
e
r
f
e
inghi
r
s
t
o
r
i
e
s
,de
c
o
he
inghi
r
s
t
o
ie
r
s
,もしくは
c
o
ns
i
s
t
e
nthi
s
t
o
ie
r
s
) という概念は､1
9
8
0年代に入ってから新しく展開されているものであ
り､ QM の枠組自体にとって重要な問題である｡が､以下の話はこれとは直接関係しない｡
3
.刀 -刀+刀:素人 (
含筆者) のための MR梗概
(
M R理論について詳しくは柴田氏の洋演を参府｡)
衆境中のスピン 1
/
2 (二準位系) の QM を考える｡
I
+>≡"スピンの初期状態":- # 日>+I1
>)
l
x>≡"韓境の初期状態"
l
q
l
(
0)>≡"全系の初期状態"-l
+>l
x>
′
ヽ
He≡"舞境のハミル
トニアン"
′
l
H._e≡"スピンと衆境の相互作用ハミルトニアン"
-1
1
6-
｢
第 3回『
非平衡系の統計物理』シンポジウム｣ (
その 1)
′
ヽ
H ≡"全系のハミルトニアン":
-hnS3+Hc
+H._i
仲(
i
)>≡exp(
-i
ht
/
A
)
L
q
l
(
0)>
これを
t
l
q>l
q-I,U で展開することは常に可能 ;
,
-義(
e
i
nt
/
2IT
,榊
I
g(
i
)
)H ei
nt
/
2L
i
,l
紬 ),)
各項のノルム
Nq
(
i
)≡
旧東
.
(
i
)>
"
,L
x
.
(
i
)>
:
-(
Nq(i
)
)
1
桁(
i
)>
を導入すれば
'
-去写 e
1
g(
i
)
恒 I
x
q
(
i
)
'･
-iqnt/2N q(i)
p
(
i
):
-1Q
'
(
i
)>< 中(
i
)
I
W(
いけ0)≡"
l
+>の persistenceprobability"
≡"時刻 0に
l
+>であったとして時刻 tにも I
+>である条件付確率,つまり l
+>から
l
+>- の遷移確率"
:
-T
t(
p(
i
)
l
+><+l
I
=II<+lql
(
i
)>
"2-喜
i
l
+ReC(
i
)
)
C(
i
)≡Coher
e
nc
y≡"†と1.の干渉性の目安"
:
=T
r(
p(
i
)
Il><†
l
)
=e ifl
wl
(
i
)
NT
(
i
)< xl
(
i
)
J
x†
(
i
)>
典型的な漸近 (
i∼∞)振舞
NT
(
i
)∼e-i/2Tl,
Nl
(
i
)∼(
1-e
-i/Tl
)
1
/
2
･x"i
)
l
x"i
),∼e
x
pt
-(
去 -i
i
n)
i
)
-
117 -
研究会報告
故に
1
C(
i
)∼e
xpt
-(
去･ i
a)
i
),去 -
面
･毒 ,白 ≡-
n･
これら Tl,Ti,6
S
tを計井することが MR理論の重要課題である｡ (7節の MQCの場合には､
上のように定義した周波数偏移 6
f
lが､通常､正となる｡つまり､赤方偏移｡) Co
he
r
e
nc
yの
de
c
a
;
yt
i
me ("横緩和"時間) は､e
ne
r
g
ydi
s
s
i
pa
t
i
o
n ("縦緩和'
'
) に起因する項 (
1
/
2
Tl)と
de
pha
B
i
ngに起因する項 (
1
/
Ti
･
)とから成る｡伝統的に､それぞれ､l
i
f
e
t
i
mee
fe
c
t,
s
e
c
ul
a
r
Sl
i
c
ht
e
r
】
｡(
所謂 mo
t
i
o
na
lna
r
r
o
wi
ngに関係するのは後者の効果
br
oa
de
n
i
ngとも呼ばれる【
である｡)少なくともこれら基本概念については MR理論から学ぶ所大である｡
4.巨視的実在論 (
MR;Ma
c
r
oRea
li
s
m)
Ei
ns
t
e
i
nは,とある散歩の折､猫の代わりに月を引き合いに出してこう言ったと伝えら
れる｡ r
貴方は本当にそう借じますか､お月さんは貴方が凍ているときにのみ存在する､と｡｣
(
"･
･
･
dur
i
ngo
newa
lkEi
ns
t
e
ns
i
udde
nl
ys
t
o
ppe
d,t
u
r
ne
dt
omea
n da
s
k
e
dwhe
t
he
rIr
e
ll
a
y
'【
Pa
i
s
】
) この会話は､必ずしも｢巨
be
l
i
e
v
e
dt
ha
tt
hemoo
ne
xi
s
t
s0
dywhe
nIl
oo
ka
ti
t
.
'
視的レグェルの実在｣の問題に限ったことではなかったかもしれないが､ M R を代弁する青
Al,A2)を静める藤談論的立場である
葉としてふさわしい｡ MR とは､以下の二つの仮定 (
【
Le
g
ge
t
tGa
r
g
】
｡
MRAl
:
巨視的確定性 (
Mac
r
os
c
o
pi
cDe
i
f
ni
t
e
ne
s
s
)の仮定
Sl
,
S2
,･
･･
)が考えられる場合､
巨視系の状態として､互いに巨視的可峻別な複数の状態 t
その巨視系は観測されていようといまいとに拘らず､常に､(
β1,
β2
,-･
)のうちのいずれか
一つの状態に存在する｡
MRA2:
無侵蕪可測性 (
NonⅠ
nv
a
s
i
v
eMe
a
s
ur
a
bi
l
i
t
y)の仮定
巨視系の状態は､常に､原理的に無限小のじょう乱で確定され得る､即ち､状態を確定
すべく行われる測定過程が巨視系のその後の振舞に及ぼす影響は原理的にいくらでも小さく
され得る｡【
c
f
:
S
hi
no
mot
o
I
QM は一般に Al,A2のいずれをも静めない｡差し当りの議論において必要なのは Al
のみである｡
`(
あとで､ LG 不等式と実験を対比する際に A2
【
および A3
:
I
nduc
t
i
o
n (しかし､
sQM に限らず常に必要】も必要となる) である｡｢
観測されればいずれかの状
これは MRv
態に見出される｣というのは経験事実 (もしくは｢
観測｣の定義 ?)であって､QM もこれを
認める｡これに対しAlの主張の要点は､｢
観測されようとされまいと｣という部分にある｡
5
.LP
LPの最終目標は､その捷唱者の青葉を引用すれば､以下の通りである｡
- 11
8-
｢
第 3回『
非平衡系の統計物理』シンポジウム｣ (
その 1)
"
Att
hemac
r
oS
C
O
pi
cl
e
v
e
ldo由Na
t
ur
ebe
l
i
e
v
ei
nqua
nt
umme
c
ha
ni
c
s
,l
nr
e
a
l
i
s
mO
ri
n
ne
i
t
he
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?
M
(
Me
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i
o
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daB "t
hebi
g
ge
s
tque
s
t
i
o
no
fa
l1
'
'a
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hee
ndo
ft
hel
e
c
t
ur
el
Le
g
ge
t
t
,Le
a
Ho
uc
h
e
S
】
)
勿論 QM の破綻の兆候がすでにどこかに見られる釈ではないカ㍉｢
MR と対比したとき
の QM の奇妙さ｣が QM の破れの探索をも射程にいれたこのプログラムの動機となってい
る｡ (と同時に､宇宙における微々たる存在としての人類が､理論の細部は別として既に究
極の枠組みに到達した､ .と考えるのは些か倣慢に過ぎないか､という心情的異存もあろうか
r yt
oCr
e
a
t
e
と筆者は想うが､以下は一応それとは別の次元の議論である｡)標静としては T
La
bo
r
a
t
o
r
yCo
us
i
nso
ft
heSCa
tl
c
f
:Le
g
g
e
t
t
,Ka
ga
ku]
.
6.MQP
言葉遣いについて一言注意しておきたい｡ 1
97
0年代以前には巨視的量子現象という言
葉は超流動･超伝導の代名詞として使われていた｡コップ内の液体- リウムがコップの壁を
よじ登ってするすると流れ出る､といった現象は疑いもなく巨視的であり､かつ QMによっ
てのみ説明可能である｡しかし､これらは 1もしくは 2粒子のレグェルでの干渉効果が､多
数の粒子が歩調を揃えて振る舞う (
Bo
s
e
Ei
ns
t
e
i
n凝縮)ことにより､巨視的なスケールに拡
MDSの関与はなく､本稿のMQP (
M
大された結果として生ずる現象である｡そこには QI
第-種巨視的量子現象｣､本稿の MQPを｢
第
QCや MQT)とは本質的に異なる｡前者を｢
二種巨視的量子現象｣､と称することもある｡
MQT については Ⅰでも述べた (
そこで触れた J
os
e
phs
o
n接合系の実験は Cl
a
r
k
eらに
Cl
rk
a
ee
ta
l]
) ので､以下､MQCについて考える｡
よる t
7･MQC(
M礼
c
r
os
c
o
pi
cQua
nt
um Co
he
r
e
nc
e
)
SQUI
D頻を貫く磁束中や微小磁性体の磁化〟に対しては､縮退した二重井戸型 (
DDWde
g
e
ne
r
a
t
edo
ubl
ewe
l
l
)ポテンシャルで表される状況を現実にしっらえることが可能であ
る｡縮退した二つの (
近似的) 基底状態を仕 >とし､対象とする巨視的自由度 (
中や J
u)
を記述する Hi
l
be
r
t空間を L
土 >で張られる二次元空間に制限 (
t
r
unc
a
t
e
)して考えたとすれ
ば､問題は前節と同型となる｡廿>とト >の間の振動の検出可能条件は
(
i
)
h由>T ≡温度
(
7.
1
)
(
i
i
)
aT2 之 1.
(
7
.
2
)
条件 (
i
)が破れても､MQC の痕跡が観察できる可能はあるが､純粋に量子力学的な
r
e
g
i
meを達成すべくその成立が望ましい｡
後で述べる CLS
(
Ca
l
d
e
i
r
a
Le
g
g
e
t
ts
c
he
me
)が成立するならば､
-1
1
9-
研究会報告
7
≡(
由T,
)
-1と叩 /
2
7
7≡"量子まさつの強さ"
o
wn運動をする) と見なされ得る状
≡り巨視的自由度が古典的に振る舞う (
古典的な Br
況においてその運動の記述に現れるまさつ係数を7
7
C
｡mvとするとき､ 7
7
C
｡mvが､同自由度
の量子論的運動に及ぼす効果を表す無次元量"
QUI
D の場合､
具体的に S
抗"
7
1≡"
SQUI
D を所謂 RSJ(
-r
e
s
i
s
t
i
v
e
l
ys
hunt
e
dj
unc
t
i
on)模型で記述したときの電気抵
′
￠o≡磁束量子 :
-響
1
I
qc
｡ny = /
花
q:
-
盈qc.nv- 主著 ,7
aH ≡2
qh
/
e
2 巴2
.
5×1
0
40l
m
今の所 MQC は実証されていないが､
兄
.
-1
0
9o
hm を達成する技術も存在するようなの
i
i
)に関しては希望は充分にある｡むしろ条件 (
i
)の方が困難をもたらすかも知れ
で､条件 (
ない ;
T/
h- 1.
3x1
0
5(
T/
l
l
L
K)
S
e
C
-1.
つまり､MHz軽度の振動を検出せねばならない｡なお､微小磁性体における MQC の可能性
については､小林･羽田野･鈴木氏のポスター【
Koba
ya
s
hi
Hat
noI
a
Suz
uki
)を参府されたい｡
8.QM 対 MR
猫状態の確静｣と結論づけるのは速断に
MQC振動が検出されたとしても､直ちに､｢
すぎる｡ MQC は､｢
QM によれば猫状態によって記述される｣という意味で猫状態と両立
するが､MR とも両立するかも知れぬ｡つまり､実験結果が､｢
QM とは両立するけれども
MR とは両立しない｣という事が言えて初めて猫状態の存在が立証されたことになる｡ (こ
こでは､一応､ QM の対抗馬としては MR 以外にないものと仮定｡) そのような結論を下し
得るための定量的 c
r
i
t
e
r
i
onが必要である｡
l
lの定理は､｢
QM とは両立するが LR とは両立しない (
LR;Loc
a
l
Re
a
l
i
s
m,局
有名な Be
所的実在論 )
.
｣現象の存在を指柵したものであり､そのような現象 (
EPR【
Ei
ns
t
e
i
nPodol
s
ky-
RDS
e
n】
′
相関)の存在が実証されたことは周知の事実である｡そこで､Be
l
lの故事に習い､QM
vsMR という対立に黒白を決すべき不等式が提案された｡それが次に述べる LG 不等式で
LR と同じく､ MR と言っても何か具体的な理論を念頭に置いている訳ではない｡ 4
ある｡ (
ー1
2
0-
｢
第 3回『
非平衡系の統計物理』シンポジウム｣(
その1
)
節の Al
,A2を満たす理論なら何でもよい｡そのような一類の理論全体をひとまとめにして
QM (もしくは実験) と定量的に付き合わせようという試みである｡)
"
Thus
,i
ft
heMQqe
xpe
r
i
me
ntc
a
nbedo
neunde
ra
ppr
o
pr
i
a
t
e
l
ys
t
r
i
ng
e
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o
ndi
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i
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ns
,
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l
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Ge
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oc
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um me
c
hani
c
sandmac
r
oLe
g
g
e
t
t
,Le
sHo
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sp5
0
3
1
r
e
αJ
i
J
｡'【
,
)i
r
r
e
s
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c
t
i
v
eo
f
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(
Expe
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l vi
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l
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i
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fLG i
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l
l
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e
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he丘･
a
me
wor
ki
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c
ht
hee
xpe
r
i
me
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sa
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e
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pr
e
t
e
d,t
ha
tunde
rc
e
r
t
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i
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am礼
c
r
os
c
o
pi
cobj
e
c
tne
e
dnotbei
nad
e
丘ni
t
em礼
c
r
os
c
o
pi
cs
t
at
e
"【
Le
g
g
e
t
tI
SQM 8
6p291
1
e
f
t
】
LG 不等式を考案する動機 :
"
I
si
tpos
s
i
bl
et
oc
o
nf
r
ontt
hehypot
he
s
i
so
fMRdi
r
e
c
t
l
ywi
t
ht
hee
xpe
r
i
me
nt
l da
a
t
a,
wi
t
ho
utt
hei
nt
e
r
v
e
nt
i
o
no
faQM'
li
nt
e
r
pr
e
t
a
t
i
o
no
ft
hel
a
t
t
e
r
?I
not
he
rwor
ds
,i
si
t
pos
s
i
bl
et
ode
vi
s
ea
ne
xpe
r
i
me
ntwhi
c
hi
fc
o
me
so
uta
cc
o
r
di
ngt
ot
hepr
e
di
c
t
i
onso
fQM,
mus
tuna
m bi
guo
us
l
yr
e
f
ut
et
heh
ypot
he
s
i
so
fMR?(
Thi
si
s
)wha
tBe
l
ldi
df
ort
hel
oc
l
a
r
e
li
a
s
m.l
Le
g
g
e
t
tLe
c
t
ur
ep2
25
-2
2
6
]
つまり､LG 不等式は､QM と無関係に｢
MR対実験｣に使える｡しかし､現実に興味
MR対実験対 QM｣である｡この付き合わせを､ QM と MRが矛盾する (
つ
のあるのは､｢
まり､ QM の予言が LG 不等式を破る) ような状況で行うことである｡これが QM 対 MR
という標題のゆえんであり､この事情は Be
l
l不等式の場合と共通である｡
"
(
The
s
e(
MQC)e
xpe
r
i
me
nt
sc
a
na
l
s
obeus
e
dt
oe
xpl
o
r
et
hel
i
血t
so
fQM･
)I
nde
e
d,
f
r
om mypoi
nto
fvi
e
w,i
ti
ss
o
me
wha
tde
pr
e
s
s
i
ngt
ha
ts
of
re
a
xpe
ime
r
ntha
sgi
v
e
nnO
gge
t
t,
I
SQM 86p2
9
7r
i
g
ht
】
i
ndi
c
a
t
i
o
nt
ha
tt
hel
i
mi
t
sa
r
ebe
i
nga
ppr
oa
de
d･
"【
Le
もちろん､｢
QM の破れ｣を実証するのは並大抵のことではない｡
"
Ev
e
ni
fLG i
ss
a
t
i
s
ie
f
de
xpe
i
me
nt
ll
a
ywhe
nQM pr
e
di
c
t
so
t
he
r
wi
s
e
,t
he
r
ea
lwa
ys
r
e
ma
insapos
s
i
bi
l
i
t
yt
ha
tt
heQMt
he
o
r
yo
v
e
r
l
oo
k
e
dapo
s
s
i
bl
eme
c
ha
ni
s
mo
fde
c
o
he
r
e
nc
e,
whi
c
hwo
ul
dma
k
eQMt
he
o
r
e
t
i
c
l pr
a
e
d
i
c
t
i
o
nc
o
mpa
t
i
bl
ewi
t
ht
heLGi
ne
q
ua
li
t
y.
"
大それた主張をするには細心の注意が要求される｡同様のコメントは QM 対 LR の場
合についても当てはまるが､MR の対象は LR のそれに比べて遥かに複雑であり､それ故､
非常な困難が予想されることは云うまでもない｡
9.Le
g
ge
t
t
Ga
r
g不等式
着目する巨視系の状態として､巨視的可峻別な二つの状態 S士が考えられるとする｡か
つ､この系の状態を表す巨視変数 Rが存在し､状態 S土は､それぞれ､Rの借土1に対応する
ものとする｡以下､本節では MRが成立すると仮定する｡ MRAlにより
V
t,
"
R(
i
)-+lor-1
〝
-1
21-
研究会報告
以下､価単のため､ある 4個の時点 t
4> t
3> t
2> t
lのみを考えることにすれば
V
j∈(
4,
3
,
2
,
1
),"
R(
t
j
)=+
lor-1.
"
従って､以下の性質を持つ j
oi
ntpr
oba
bi
l
i
t
yγ が存在する筈である｡
P≡ア(
q4
t
4l
q3
t
3l
q2
t
2l
ql
i
l
)
=
-"
R(
i
,
.
)-qj,3
'-1
,
2,
3,
4,なる確率"
(
ただし､∀
3
',"
qj=+l o
t-1")
ア≧0
∑ ア- 1
qlq)q8q4
これに基き､ Rの時間相関函数を定義することが出来る｡即ち 4≧j>i≧1なる任意
i
,
i
)に対し､
の対 (
cj`:
-
∑
U
,
･
q
i
ア･
q
l
q
2
q
8
q
4
これは以下の不等式を満たす (
複号同順 ) :
l
C3
2土 C3
l
l〒C21 ≦ 1
C3
2土 C2
l
I〒C
31 ≦1
1
21≦l
K:
1≡l
C3
2-C3
l
I
+C
+C21+C31)≦1
K:
2三
一(
C32
【
Le
g
ge
t
t
Ga
r
g(
2
a)
】
l
C3
2+c空ll
+l
C4
3-C4
1
1≦2
l
Le
gg
e
t
t
Ga
rg(
2
b)
]
-1≦に3≡去(
C4
3･C3
2･C2
1-C4
1
)≦1
【
Le
gg
et
,
Le
s
Houc
h
e
s
】
t
証明:(
本質的に Be
l
lおよび Cl
a
us
e
r
Home
S
hi
monyHol
t不等式の証明と同じ)
q
"
)J,
q'
, ,
q)
･
(
i-1-4
)はすべて bi
na
r
y変数 (土1
)とすれば
(
手順 1
l
qq〝+q'
q"l-t
qq'
'
(
1+qq'
)
L-1+qq'
●
-iq2,q〝
-U,,と置けば
(
1.
1)
q- ql,q'
1土 ql
q2-1
ql
q3土 C2
q31
- 122 -
｢
第 3回『
非平衡系の統計物理』シンポジウム｣ (
その 1)
故に
q
l
+q3qlj=q3q2≧0
1土 q2
1士q2
ql-(
q3
ql土 q3
q2
)≧0
(
1･
2)
q-ql
,q'-q3,q"-q2と置けば
I
ql
q2+q3
q21-1+ql
q3
q-ql
,q'--q3, q''-q4と置けば
I
ql
q4-q3
q41-1-ql
q3
故に
I
q2
ql+q3
q2I
+L
q4
63⊥q4
ql
l-2
12≦q2
ql+q3
q2土 (
q4
q3-q4
ql
)≦2
(
手順 2)
(
2･
1
)
2
1
+
1土 C
2
-
1土 C 3
C 3
∑
iq2
ql
+q3qlj= 3q2)P >
_ 0･
(l
q
q4q3q2ql
上の不等式は (
1.
1) の第 2式を使って導いた｡同様に (
1.
1)の最後の式を用いて
1土 C21-(
C31士C32)≧0
故に第 1不等式 qed｡また 2と 3を入れ替えて第 2不等式 qedo
(
2.
2)上の (
2.
1)の第 1の式で+符号を･
とれば第 4不等式 qed｡
(
2.
3) (1.
2)の最後の式より
-2≦C21
+C32土 (C43- C41)≦2
故に
+C3
2+l
C4
3-C4
11≦2
≦C21+C32ll
C4
3-ca
ll
(92
1
故に
士(
C21+C32)+l
C4
3-C411≦2
故に第 5不等式 q 9d｡
(
2
･
4
)
L
C4
3+C32+C21- C4
11≦l
C3
2+C2
l
l
+l
C43- C4lI
- 12
3-
研究会報告
故に最終不等式 q ed｡
定理 :(
Ma
xi
ma
l vi
ol
at
i
ono
fLGi
ne
qua
li
t
i
e
sa
te
qua
ll
ys
pac
e
dt
i
me
s
)
相関函数
qi
が定常かつ下に凸とする｡つまり
C3
.
i-C(
i
)
I
-t
i
)
, C'
'
(
i
)>0
A
:
2
なる函数 Cが存在するとする. この場合､i
3と t
lを固定すれば､t
3lt
2-t
2-t
lのとき､
は最大となる｡同じく､ C'
L
(
i
)<0とすると､t4と ilを固定すれば t4,t
3,
t
2,
t
lが等間隔の
は最大となる｡ (この定理は以下で有用となる｡)
とき
K
:
3
証明:
･
T ≡i3 -
i
l,X ≡(
t
2- t
l
)
/
T,
と置けば
K
:
2
--I(1-I)-I(x)-C(T),0_
<3≦1･
故に
d
X
:
2
/
d
x- -f
'
(
I)+f'
(
1-I)
仮定によりf
〝
(
x)>0, つまり f'
(
I)は単調増大｡故に仏は 3-1-3にて最大
q edo
9
.
1実測できる相関函数
実験的に決定できるのは以下の諸量である｡
ア(
qt
.
･
)≡ "
R(
t
i
)-qなる確率"
W(
q'
t
)
.
l
qt
i
)≡ "
R(
t
i
)-Jであった場合に､R(
i
)
･
)=q'となる条件付確率､つまりS.か
ら Sq,
人の遷移確率'
'
これらを用いて
環 p:
=∑q'
qw(
q'
t
,
.
L
qt
i
)
ア(
qt
i
)
q
l
q
qi
と比べるには､ MRA2を援用する｡ MAR2に言う NI
M が実現されたと
すれば､巨視系のアンサンブルの統計的性質 (
つまりt
P)
)は測定によって影響を受けない
これを MR の
から,
W(
q'
i3l
qt
2
)
P(
qt
2
)-∑ p(
q4
t
4l
q'
l
3
1
qt
2l
ql
t
l
)
,e
t
C･
q
4
q
l
(
注:
QM においては､このような式は勿論不成立｡そもそも j
oi
ntpr
oba
bi
l
i
t
yγが "合理的に"
m pl
i
t
udeの和則､pr
oba
bi
l
i
t
yの和則､および確率の規格化がすべて c
ons
i
s
t
e
nt
(
つまり､ a
-1
2
4-
｢
第 3回『
非平衡系の統計物理』シンポジウム｣ (
その
1
)
になるように)定義できるかどうか､ということから考え直さねばならない｡)従って､MR
が正しいとすれば
C
)
!
t
T
P-C)
･
i･
9.
2QM の相関函数
一方､ QM においては､β土が
D
D
Wの極小に対応するとすれば､+と-の対称性から
q+(1IP+(
t
j-t
i
)
)
6
q
J
-q
w QM(
q'
t
,
･
l
qt
i
)-P+(
i
j-i
.
I
)
6U ,
故に
c
,
r :
- ∑ q'
qw ?"(
q'
t
,
･
I
qt
i
)
P(
ql
･
)
ql
q
.-∑ 【
p'(
i
,
A
-i
.
･
)-(
1-P'(
i
,
･
-i
.
A
)
)
]
7
'
(
qt
.
･
)
○
'
[ ]内はUに依らない｡かつ定義により
∑
ア(
qt
,
･
)- 1 ･
q
故に
c
男M -2
P'(
i
,
1
-t
i
)-1-ReC(
i
,
･
-t
i
)
･
C
(この Cは 3節で定義した C
ohe
r
e
nc
yであるo) QM が正しければ､これが ,
?
.
y
Pと一致する
筈である｡【
ただし､ "時刻 t
i
において当該の巨視系を状態 S
qに見出す"ための測定が､系の
i> t
i
に於る時間発展 (
ただし時刻りこ状態
Sqにあったという初期条件での時間発展 ) に
影響を及ぼさない､という条件を満たす実験でなければならない｡この条件は､初期状態が
S_Uの場合の i>りこ於る時間発展に関しては何も要請しない､つまり､後者がが当核の測
定によって乱されることは許容する､ということに注意しておこう｡つまり､MRA2とは全
く異なる条件である｡】
(
注:
厳密に言うと､以上 9
.
1
,9.
2において､MR,QM いずれにおいても､I
nduc
t
i
on
l
Hypot
he
s
i
8を用いている｡)
ここで 2節の結果を使えば
C
,
r -C(
t
j-t
i
)
, C(
i
)≡e-t
/
Tc
o
s
白t
2
【
α<<1l
i
mi
to
fLe
g
ge
t
t
,
Le
s
Ho
uc
he(
6.
26)
;氏-△e
f
r
]
少なくとも
汀/
2<由t<3
q/
2
-1
2
5-
研究会報告
であれば C〝
(
i
)>0｡故に上述の定理が使える｡そこで､以下､t31t2-i2-t
1-0/
aと
白T2
)
-1と置けば
し､γ≡(
x2
QM≡-C3
Q
2
M-C2
Q
I
M-C3
Q
I
M
=-2
e
-7
c
c
o
s
O-el27
c
c
0
8
2
0
,
7
r
/
2<e<3
汀/
2.
もし兼境による d
e
c
o
he
r
e
nc
eが無視できる (
7-0)なら､
噂
"
--2
(
c
o
s
e･去)
2･
芸
(
A
:
2
QM)
ma
x-(
K:
2
QM)
o=2
T/
3-3
/
2･
これは LG 第 4不等式と矛盾する｡従って QM 対 MR に黒白が付けられる｡これに対し､
de
c
o
he
r
e
nc
eの効果が大 (
7>>1
)であると､I
K
:
QMlくく 1となってしまいこもはや QM と
MR は LG不等式に関しては矛盾しない｡どの程度のTまで K
:
QMが LG不等式を破るか､お
よその見積りをすべく､♂-2
可3と採れば (
o
pt
i
ma
lなβの正確値はTに依存するが､以下の
結果からして､この7-依存性は余り重要でない)
に2㌔
2
号
Z
2
,Z2≡
e
l
2TT/3
従って
K:
PM>1⇔
Z2 > J5-1-0
.
7
3
2
01･･
⇔ 7 <0.
1
4
8
9-
⇔ 7
7<0
.
0
9
4
8
0-
ただし､最後に CLSにおける結果 (
"
αくく ll
i
mi
t
"
)
,7-7
T
T
l
/
2,を用いた.l
c
f
:αの高次を
Le
g
g
e
t
tGa
r
g●
p8
5
8
】叩く 0
.
l
l
.
】
考慮すると (?) 【
Le
g
g
e
t
t
Ga
r
gの原論文は上の K
:
2を議論したのであるが､実は､A
:
1
の不等式の方が役に
立つ｡それを見るには､上と同じ記法を用いて
K:
PM-l
e
-Te
c
os
O-e
-2
T
e
c
o
s
2
0J
+e
-7c
c
os
O
=2e-7cc｡sO_e-27cc｡S20.
ただし､c
o
s
e>0>cos
2etなるOを考えたO これは KPMと第 1項の符号が異なるだけであ
るから､ O-7
T
/
3と採れば
KP"-zl+去Z1
2
,z
l ≡ e-qT
/
3
ー
12 6 -
｢
第 3回『
非平衡系の統計物理』シンポジウム｣ (
その 1)
従って
K:
PM > 1 ⇔ zl> J5-1
⇔ 7<0.
2
97
8･･･⇔ 1
1<0
.
1
8
9
6･･･
これは
K
:
2
の不等式を用いた場合に比べて因子 2だけ緩やかな条件である｡
K:
3に関しても同様の議論が出来る｡4個の時点を等間隔に採り､以上と同じ記法を用い
れば
lK2" - (- ecsO
芸
もし7-0なら
3e
T
- e1
o
37 c
c
0 830 1 ･
K:
3
QM--2(
c
o
S
e)
3+3
c
os
e,
(
K
:
3
QM)
ma
x-(
A
:
PM)
o
=汀/4 -滴･
そこで7≠0の場合にもO-q/
4と採ってみれば
K3Q" - 義 (3Z3･Z
3
)IZ3≡eT
T/4
従って
K:
PM > 1 ⇔ Z>0.
7
8
2
8⇔ 7 <0.
31
1
6･･･⇔
7
1<0
.
1
9
8
4-
つまり､7
7
に関する条件は､僅かではあるが､さらに緩やかとなる｡ (
注:上の計算において
,
C32 C21,C43
>0,C41 < 0である｡従って､第 6不等式の代わりに第 5不等式を用いて
も結果は同じである｡なるべく大きなTまで許容するには､βはなるべく小さい方がよいから
e巴q/
4が o
pt
i
ma
l である｡)
より定量的な評価をするには､｢
LG不等式の破れの"判定余裕度 My｣という概念を導入
するとよかろう｡つまり､
K:
QM = 1+Y
と予言されるとき､破れが｢
余裕度 y｣をもって判定可能､と呼ぶことにする｡この等式を
満たす7
7
の借を7
7
Yとすれば､｢
Y以上の余裕度をもって破れが判定可能｣となるための条件は
K:
QM >1+YIo
re
q
ui
v
a
l
e
nt
l
y
叩く qy ･
(
ここで K
:vs7
7
のグラフがあるとよい｡各小こついて o
pt
i
ma
lなCを求め､A:を7
1
で表す｡)
.
1は技術的に達成可能のようである｡とすれば､多分､最も
既に述べたように､7
1-0
好都合なのは
K
:
1であろう｡採るべき時点が 3個で済み､カナつ小こ対する条件も比較的緩や
:
3の場合には､4個の時点が必要である｡
かだからである｡これに対し､K
-
12 7
-
研究会報告
1
0.Ca
l
de
i
r
a
Le
g
ge
t
tスキーム
もしくは MQPの非存在を示した)｣と結論し得るために
｢
実験結果が MQPを検出した (
は､QMに基づく理絵との定量的比較が求めらるが､その際､理論の予言が APF(
a
d
j
us
t
a
bl
e
-
pa
r
me
a
t
e
r
f
r
e
e
)であることが望ましい.特にトンネル確率のように指数函数的にパラメータ
に依存する量を扱う際には､望ましいというよりは絶対的に必要と言うべきかもしれない｡
そのような APF予言は､微視的で少数自由度の系については可能としても､巨視系の場合
には､パラメータの数が多過ぎて一見絶望的と思われる｡
Ca
l
de
i
r
a
Le
gg
e
t
t理論の要点は､｢ある緩やかな条件を満たす巨視系に関しては､ (
意外
にも) APF予亨が可能である｣という主張にある｡具体的には､トンネル率r
が
r-r(h,7
7
)
の形に書かれるということである｡ここに 7
7
は前述の｢
豊子まさつの強度｣であり､
h≡"当核の巨視的自由度に特有の作用量で無次元化したプランク定数"
である｡上述の｢
多数のパラメータ｣はすべて hと1
1
の中にまとめて押し込まれている｡
1
1
.D (- Di
s
c
o
nne
c
t
i
vi
t
y)
巨視的可峻別とは如何なる意味か ? 二つの状態の｢
巨視的峻別可能性｣の度合いの目
安として擾案されているのが､ Dである｡これは正準変換に関して不変でないが､その定義
には､"民主的自由度" (
粒子の入れ替えに関する対称性を尊重した自由度) を用いるのが妥
当であろう｡
紙数 (というよりは力) が尽きたので､ 1
0及び 1
1節に関する詳細は別の機会に論じ
たい｡
1
2.結
以上､長々と Le
g
g
e
t
t構想を筆者の理解する範囲で紹介し､若干の考察を述べた｡その
動機は､いわゆる戦後 50年という節目が筆者自身の人生とほぼ重なるこの機会に､自身の
ささやかな研究の位置付けを自分なりにまとめておきたかった､という私的な事項､及び､
この構想は来世紀の物理を弄く重要な柱になるであろうと筆者には思われるということ､に
ある｡ (
妄想 :宇宙の間唐から脳や心の問題まで､この構想と切り離して論ずることは不可
能となるのではあるまいか､いや､むしろ､この構想が実現されて初めてそのような高蓮
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第 3回『
非平衡系の統計物理』シンポジウム｣ (
その 1)
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0,NHK 第- で｢戦
と筆者は予想している｡) このシンポジウムの直前､ 3月 4 日 2
後 5
0年特集
人物往来
湯川秀樹｣という､佐藤文隆･湯川スミ両氏の散話を衰えた番組
外
があった｡｢
外国の真似は駄目､独創的に考えよ｣という湯川さんの生め声が聞こえた｡｢
他の研究者｣と置き換えれば普遍的に妥当な言葉であり､上記の筆者の
国｣という青葉を｢
話などは独創性のかけらもないと叱斉される事必定である｡しかし湯川さんも一方では｢
二
十世紀に入ってから急速に進歩した学問 - の上げ潮の中で､自分の好きなことを自分の好
きな流儀でやって来た - 明日進むべき道をさがし出すために､時々､昨日まで歩いてきた
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】とも仰有っている｡潮の流れ自
あとを､ふり返って見ることも必要なのである｡｣【
5年間の M Q P研究の潮
体を創り出すことは到底凡人のなし得るところではないが､この 1
流を振り返ってみたヾということに何らかの意義があれば幸いである｡
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