S3_0増補版 - Info Shako

S3-0 計量経済学
統計学の復習続き
正規母集団からの無作為標本
正規分布、カイ二乗分布、t分布、
F分布と仮説検定
1
A2-2 標準正規分布
平均ゼロ分散１の正規分布を標準正規分布と呼び、Z で表す。
Ｚが標準正規分布に従うことを Z～N(0,1)で表す。
例１： Zi = (Xi)/
例２：
X μ
2
σ /n
i = 1,2,..,n)、Zi～N(0,1)
~ N(0,1)
基準化、標準化、Z 化
期待値から標準偏差の単位で測る
2
統計学の最重要定理
LLN,CLT
大数の法則
• LLN（Law of Large Numbers）
• 母集団からのｎ個の無作為標本
において、ｎが十分大きければ標
本平均は母集団平均に一致
する。
の平均, 分散/n
•
• nが大きければの分散はゼロに
近づく。
•
の分布はの上でつぶれる。
中心極限定理
• CLT(Central Limit Theorem)
• 標本平均の分布は（母集団分
布の形にかかわらず）正規分布
に近づく。
• 元の分布がどのようなものであっ
てもn大なら基準化した分布は
N(0,1)に近づく。
• 和iXiの分布も正規分布に近づ
く。（和はのn倍、正規分布に従
う確率変数をスカラー倍した結果
は正規分布に従う。）
3
Zテスト平均の検定
X~N()
X

P(Z>Z)=
Z
-1
Z:Zの限界値
0
1 Z

Z
値
0.10
Z0.10
1.282
0.05
Z0.05
1.645
0.025
Z0.025
1.960
0.005
Z0.005
2.576
4
t分布 t =
• 分布の特徴
1. ゼロを中心とした釣鐘型（対称）。
2.自由度ｄｆとともに形が変わり、増
加とともに標準正規分布に近づく。
分散ｄｆ/(df-2)
3.N(0,1)より平ら（fat-tail）
4.自由度が大きい（50以上）なら
N(0,1)にかなり近くなる。
５．自由度が無限なら分布はN(0,1)
に一致。（分母が１に収束）
注意：ｔ分布の限界値
t: Pr(t>t) = 
5
tテスト平均の検定
仮説検定 は未知
• H0: , H1:≠ 
• 直感：は に十分近いか？
• 距離|  |
•
基準化した距離 t0=
|
|
=
|
|
Pr(t>t)=
/
• 検定ルール
|t|<t 有意度で棄却しない。
|t0|>t 棄却
例：n=9, s=3, =10, H0: =8, =0.05
検定量（t値）t0=2、t0.025=2.306
棄却しない。
t
-1
t: tの限界値
自由度により変わる。
自由度８なら＝＞
0
t
1 Z

t
値
Z
0.10
t0.10
1.397
1.256
0.05
t0.05
1.860
1.645
0.025
t0.025
2.306
1.960
0.005
t0.005
3.355
2.576
6
A2-3 カイ二乗分布（再掲）
n個の独立なN(0,1) 変数Z1,Z2,..,Znの二乗和の従う分布を、
自由度nのカイ二乗分布と呼び2(n)で表す。
Ｗ～2(n)
ならW = Z12 + Z22 +..+ Zn2と表せる。
Wの期待値はn(自由度)、分散は2n。
（和の期待値、独立な変数の和の分散）
例１：
(Xi)2/～2(1)
例２：
i(Xi)2/～2(n)
例３：
i(Xi- X )2/(n1)S2/～2(n1)
S2=i(Xi- X )2/ (n1) 不偏分散、標本分散
2
例４：
n (X   ) /2～2(1)
例５：
W1～2(n1), W2～2(n2)かつW1,W2は独立なら
W1 W2～2(n1+n2)
再生性
7
カイ二乗分布
分布の特徴
１．非負
２．非対称（左に偏り）
３．期待値＝自由度（df）（E(zi2)=1）
４．分散＝2df (Var(zi2)=2）
５．自由度ｄｆ増とともに分布は右に移動
、拡がりながら対称に近づく。自由度が
大きくなるとN(df,2df)に近づく。（CLT）
注意：カイ二乗分布の右確率を与える
限界値をで表す。
Pr(W>
必要に応じて自由度を明記する。
例： （n1)
自由度と分布形
確率

8
カイ二乗分布の応用
• 適合度の検定
• 独立性の検定
• 平均の検定
H0：既知
Zテスト |Z0|に注目
Z0 =
/
カイ二乗テスト Z02 に注目
W= Z02 ～2(1)
W>2(1) なら棄却
例：
n=9,=3, =10, H0:=8
W0 = Z02 = 22 = 4
5% 限界値
2(1)0.05 = 3.84 ＝1.962 = Z0.0252
9
分散の検定（カイ二乗検定）
棄却は
大きすぎ）
受容
棄却は
小さすぎ）
W0


n-1
: 分布の限界値
自由度により変化。
自由度８なら（付表３）


0.975
0.975
2.180
0.500
0.500
7.344
0.025
0.025
17.535
値
例：H0:  = 。 で検定。
n=9, S2 = 16, 自由度 n-1=8
比率： S2  
下限: 2.180/8 = 上限 17.535/8 =
10
A2-5 Ｆ分布
W1～2(n1), W2～2(n2), かつ独立とする。
F=
W1 / n1
W2 / n 2
注意：分母、分子の期待値はそれぞれ１
(大雑把にいえば）Fはほぼ1を中心に分布
Fの従う分布を自由度（n1,n2）のＦ分布と呼びF～F(n1,n2)で表す。平均n2/(n22)
例１：t～t(n)なら、t2 ～F(1,n)
t=
例２：
Z
Z2 Z2 / 1
2
=> t =
=
W/n W/n
W/n
S12をN(1,2)、S22をN(2,2)から得られた
標本分散、データ数n1, n2 かつ独立。
(S12/2)／(S22/2)～F(n1-1, n2-1)
なぜなら、例3より
W1 = (n11)S12/～2(n11)
W1/(n11) = S12/
W2 = (n21)S22/～2(n21)
W2/(n21) = S22/
11
12
分散比の検定（F検定）
H0が真なら12=22
• F0= S12/S22 ～F(n1-1, n2-1)
• 検定ルール
F＜F＜Fなら棄却しない。
下限
上限
例：日本 n1 = 41 S12 = 102 =100
米国 n2 = 61 S22 = 152 = 225
有意度 =0.10
自由度(40,60) F0=100/225=0.444
上限 F0.05 = 1.693
下限 F0.95 = 表にない！?
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F 分布おまけ
• F0.95 自由度(40,60)
Pr(F0>F0.95) = 0.95
Pr(F0<F0.95) = 0.05
Pr(1/F0>1/F0.95) = 0.05
左辺(1/F0)~F(60,40)
1/F0.95 = F0.05(60,40)
F0.95(40,60)=1/F0.05(60,40)
= 1/1.594 = 0.627
受容域下限： 0.627
上限： 1.694
分散比は０．４４４
仮説を有意度１０％で棄却。
予告：回帰分析ではF分布は複数（
m個）の係数についての同時検定な
どに使われる。
m=1の時はｔ検定もしくは
t02に注目したF検定を使う。
F検定は初等統計では「分散分析」
に使われた（はず）。
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