経済統計学 Business Statistics

統計学
11/30（木）
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講義全体の構成
第１部記述統計：データの特性を記述
第２部確率論：推測統計への橋渡し
↑中間試験はここまで
↓今日からここ！
第３部推測統計：データから全体像を推測
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記述統計と推測統計
記述統計: データ自体の規則性が対象
↑↓
推測統計：データを生み出すものが対象
例：このクラスでの試験を行った場合、
記述統計：結果を（平均や分散で）分析。
推測統計：結果を基に真の学力を調査。
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推測統計４つのキーワード
①母集団：我々の関心の対象（全体像）
②母集団特性値（パラメータ）：
母集団の特徴を数値化したもの
③標本（サンプル）：我々の観察対象（一部）
④標本統計量：標本から計算される統計量
⇒一部を観察し、全体像を推測する！
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推測統計の例 ①
☆政治：内閣支持率調査
• 母集団：有権者全体
• 標本：インタビューされた人達
• 母集団特性値：有権者全体の内閣支持率
• 標本統計量：インタビューされた人達の間
での内閣支持率
⇒まずは有権者にインタビューする。
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推測統計の例 ②
☆環境：標識再捕獲による生息数調査
• 母集団特性値
ある地域に住む特定生物の生息数
• 標本統計量
捕獲した生物の中にいる、標識をつけた個
体の割合から推定した生息数
⇒まずはその生物に標識をつける。
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標本調査：推測統計の第一歩
• 推測統計を行うには、まずは標本を採って
こなくてはならない（標本調査）。
標本をどう採るかで、標本統計量の値は
変わる。
⇒標本は、母集団を正しく代表するようなも
の（代表的標本）でなければならない。
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標本抽出論
• もし標本調査に偏りがあれば、それは母集
団を正しく代表しない。
例）中日スポーツ新聞が、読者を対象に、プ
ロ野球の人気球団を調査したら？
⇒中日ドラゴンズの人気が、全国民を対象に
した調査結果よりも、高く出ることが予想さ
れる。⇒標本に偏りがある。
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標本抽出論（続）
• 偏りのない標本調査は当たり前？珍し
い？
例）咋年２月～３月の小泉内閣の支持率
Y新聞（やや保守）：49.4％
A新聞（やや革新）：41.0％
どちらを信じればよい？
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標本抽出論（続々）
☆無作為抽出（Random Sampling）
母集団を構成するどの個体についても、そ
れが標本に選ばれる機会（確率）が同じで
あるようにする方法。［例：くじ引き］
⇒新聞の内閣支持率調査は、自社の読者を
対象にしていれば、無作為抽出ではない。
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標本統計量
• 調査した標本から、標本統計量を計算す
る。
• 推定したい母集団パラメータが
平均ならば、標本平均
分散ならば、標本分散
何かの比率ならば、標本比率。
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標本平均
最も代表的な標本統計量の一つ。
標本調査で観測された変数Xの値の平均
1
X  ( X1  X 2    X n )
n
X はサンプル次第で値が変わる確率変数。
 その平均値（期待値）と分散は？
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標本平均の平均値
標本平均は大体どのくらいの値？
⇒期待値を取る（付論参照）
1
 1 n
E X   E  ( X 1  X 2    X n )   E X i 
n
 n i 1
X i の期待値は X なので、
1 n
E X     X   X
n i 1
重要：標本平均は平均的には  Xに等しい。
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標本平均の分散
標本平均はどれくらい値が散らばる？
⇒分散を取る（付論参照）
1
 1
V ( X )  V  ( X 1    X n )  2 V ( X 1    X n )
n
 n
無作為抽出された標本なら、それぞれの Xは独立。
1
n X2  X2
V ( X )  2 V ( X 1 )    V ( X n )  2 
n
n
n
 標本平均の分散はサンプルの個体数を
多くとる程、小さくな
る（結果が安定）。
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超重要：中心極限定理
平均値 X ，分散 
2
X の母集団から
採られた大きさ n の標本をもとに
標本平均 Xを計算すると、その
確率分布は次のようになる。
 X ～N (  X ,

2
X
n
)
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標準化（復習）
• 正規分布に従う変数の標準化
確率変数が正規分布に従う場合は、
平均を引いて、標準偏差で割れば、
その変数は標準正規分布に従う。
Z
X  X
 X2 n
～N (0,1)
 この統計量を元に検定（次回）。
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付論：期待オペレーター
• X、Yは確率変数、ｃは定数。
E ( X  Y )  E ( X )  E (Y )
E (cX )  cE( X )
E ( X  c)  E ( X )  c
確率変数の分散は次のようにも書ける。
V ( X )  E[{X  E ( X )}2 ]
これより、次の関係が
導ける。
V (cX )  E[c 2 { X  E ( X )}2 ]  c 2V ( X )
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