標本抽出法入門 （第3章 統計的推定 補足2） 統計学 2008年度 母集団（個体数N） × × × 標本（個体数n） × × × × × 母平均μ • × × 標本平均x 区間推定 標本平均にもとづいて母平均を区間推定するとき、できる限り精度の高い、すな わち信頼区間の幅の小さい推定量を得ることを考える。 • 標本平均 x の分散は 2 V (x) n であり、標本数nを大きくすれば、推定量の精度は高まる。 • しかし、標本数nを大きくすることにはコストの面などから限界がある。そこで、標 本の抜き出し方を工夫することによって、推定量の精度を高めることをかんがえ ていく。これが標本抽出法（サンプリング）の問題である。 標本抽出法は、まず次の２つに大別できる。 •有意抽出法 街を歩く人にアンケートをとるなどの方法であり、抜き出された標 本が、一定の傾向を持つ（標本の偏りを持つ）可能性がある。 •無作為抽出法 母集団の中から無作為（ランダム）に標本を抜き出す方法。 母集団の中からくじ引きの原理によって標本を抜き出す、単純 無作為抽出法がその代表格である。 今までの推測統計の理論では、この単純無作為抽出法を前提 としている。 有意抽出法でなく、単純無作為抽出法を用いた場合でも、 たまたま特定の傾向を示す人が多く選ばれることによって、 偏った標本となってしまうおそれある。 ⇒ 信頼区間内に母平均を含まない標本となるおそれ そこで、標本誤差を少なくするための標本抽出の工夫が おこなわれる。代表的な工夫として次のようなものが挙げ られる。 – 層別抽出法（層化抽出法ともいう） － できるだけ同じような性質 のグループに分ける。都市なら人口規模、産業構造など、人なら 性別、年齢などによっていくつかの層にわける。 – 多段抽出法 － 市町村を選び、その中から世帯を選ぶなど、何 段階かに分ける。 • 日本の官庁統計では標本誤差を少なくするために無作 為抽出法に層別抽出法、多段抽出法を組み合わせた方 法を用いている。 （例） 家計調査の場合 １．全国の市町村を168の層に分け、その中から1つ選ぶ。 ２．各市町村から調査地区(単位区)を選ぶ。全国で約1400単位区 ３．各単位区から6世帯を乱数表によって選ぶ ＜層別抽出法の理論的背景＞ 2 • 標本平均 x の分散が V ( x ) であり、標本数nを大きくすれば、推 n 定量の精度は高まる。 • 反対にnを固定して考えると、母分散σ2の小さい母集団の推定は、精度 が高くなる。 • 母集団を分散の小さいいくつかの層に分割すれば、それぞれの層内で の精度は高くなる。 母集団（個体数N） 層1：個体数N1、層内平均 x1 、層内分散σ21 層2：個体数N2、層内平均 x2 、層内分散σ22 層3：個体数N3、層内平均 x3 、層内分散σ23 N Wi i N 理論から とおく。 W1 x1 W2 x2 W3 x3 2 Wi i2 Wi ( xi ) 2 が導出される。 • 層別抽出によって抜き出された標本平均は、 xst の分散は 2 2 N i ni i V ( xst ) Wi となる。 Wi xi となり、そ Ni 1 ni ＜例題＞ Excelの表のような度数分布表で表される母集団を、2つの層に分ける。 このとき、単純無作為抽出でn=50の標本を選んだときの標本平均の分 散と、層別抽出でn1=30、n2=20の標本を選んだときの標本平均の分散 を比較してみる。 母集団（個体数N=500） 層1 個体数 N1 =300 層内平均 x1 3 層内分散 σ21=１ 層2 個体数 N2 =200 層内平均 x2 2 層内分散 σ22=１ x 2.4, 2 1.24 N n 2 V (x) N 1 n 500 50 1.24 0.022365 500 1 50 N i ni i2 V ( xst ) Wi N i 1 ni 2 0.6 2 300 30 1 200 20 1 0.4 2 0.018072 300 1 30 200 1 20
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