スライド 1

統計的推測
専修大学経済学部
作間逸雄「経済統計学」講義
統計的推測の種類


標本の観察
（標本統計量）
例：標本平均
統計的推測の種類
母集団の特徴
（母数）
母平均
点推定
推定
区間推定
検定
標本から母集団を推測する１




池の魚の数を数える。
とりあえず、50匹を捕まえ、尾に赤い標識を
つけて逃がす。次の日、10匹捕まえたとこ
ろ、そのうち2匹が標識をつけていたとする。
池の魚全体（その数をXとする）のうち、標識
のついている魚の割合が今回捕まえた魚の
中での割合と等しいと仮定する。
すると、2÷10=50÷Xから、X＝250と推
測する。
最尤法



「尤（もっと）もらしい」の「尤」である。
母比率をπとする。πをいろいろ変化させてみて、実際
のデータに含まれる比率pが観察される確率が一番高
くなるように、πを決める方法を最尤法という。
10匹の中に2匹に標識のついた魚がいる確率は、
p(2)  10 C2 2 (1   )102
この確率が最大になるように、πを選ぶのが最尤
法。微分を使って計算すると、π＝2/10を得る。
点推定と不偏性
1 n
1 n
1
E ( X )  E (  X i )   E ( X i )  n  
n i 1
n i 1
n
標本平均は、母平均の不偏推定量である。一般
に、推定量が母数にたいして次の関係があるとき、
不偏推定量という。
E (ˆ)  
「標本分布」の概念が鍵



標本統計量（たとえば、標本平均のように、標
本を与えるとその関数として決まる量を確率
変数と考えたもの）の分布を標本分布という。
原理的には、母集団分布がわかっていて、標
本分布を計算するわけだが…
母集団分布が知られなくても、標本分布につ
いて、わかることがある。
標本平均の期待値・分散
1
1
1
E
(
X
)

E
(
X
)

E
(
X
)

n





確率変数Ｘ、Ｙが独立であれば、
n
n
n
1
12
2 2
V ( X )  V (  X )  2 nV ( X ) 
n
n
n
V (aX  bY )  a V ( X )  b V (Y )
さらに、中心極限定理により、サンプル・サイ
ズが大きければ、
X
N ( ,

2
n
)
中心極限定理（復習）
x1 , x2 , , xnが独立の確率変数で、
それぞれ分散が有限のとき、
1
x  x1  x2   xn や x  ( x1  x2   xn ) の分布は、
n
nが大きければ、正規分布に近づく。
正規分布は、ガウスの発見以来、誤差の分布をあ
らわすときに、よく使われる。（複雑な多数の原因が
相互に独立に不規則に作用すると考える！）
中心極限定理の図示
大数（たいすう）の法則
標本平均は、標本サイズを大きくすれば、
母集団平均に近づく。
実際、確率変数xの分布が平均、標準偏差 
n
を
もつことがわかった。このことに、
チェビシェフの不等式を適用すると、
  1

Pr  x-   k
  k2
n

kがどんなに大きくても、
nを十分大きくとることにより、
上のことがわかる。
中心極限定理を
使っても同じこと
がいえる。
大数（たいすう）の法則（補）


黒と白の球が入った壺から繰り返し球を１個取り出
し、球の色を記録してから戻し、中身をかき混ぜた
あと、また球を取り出す。これをＮ回繰り返し、取り
出した球が黒である割合（相対頻度、標本比率）が
壺の中の黒い球の割合（母比率）からわずかな誤
差ｅ以内である確率はいくらか？Ｎを大きくすれば
誤差ｅをいくらでも小さくすることができる。このこと
を示したのは、ジャック・ベルヌーイ（1713）。
「大数の法則」（Law of Large Numbers）という
名前をつけ、より一般的なケースで証明したのは、
シメオン・ドゥニ・ポアソン（1837）。
正規分布と
＜正規分布を売り歩いた男＞ケトレー
ケトレー 1796-1874
正規分布とケトレー（続）


特定の人間集団（たとえば、イギリス人とか
日本人とか）について、典型的な「平均人
（the average man）」を構想し、集団をそ
の諸特性の平均により記述できると考えた。
その際、個人差は、正規分布（誤差曲線）に
沿った誤差のようなものとされた。
最近、ケトレーの構想したBMI指数（ボ
ディー・マス・インデックス＝「体重（kg）÷
身長（m）の２乗）」）が話題になっている。
BMI指数（ケトレー指数）の話題



マドリード・ファッションショー：やせ過ぎモデル、５人が「失
格」
「少女らに誤ったメッセージを送る」としてやせ過ぎたファッ
ションモデルの出場を禁じたマドリード・ファッションショーが１
８日、開幕した。１７日に行われた事前の身体測定では、モデ
ル６８人中５人が規定値に達せず出場禁止となった。イタリ
ア・ミラノのファッションショーも規定導入の動きをみせるなど
波紋が広がっている。
マドリード・ファッションショー主催者によると、身体測定は
「ボディーマス指数（ＢＭＩ＝体重を身長の２乗で割った比率）
が１８以上」とする拒食症防止のための地域規定に基づいて
実施された。「失格」は５人だったが、前年出場者の約３０％
が事前の測定さえ許可されなかったという。
毎日新聞 2006年9月19日東京朝刊
ファッション・モデルとBMI指数

拒食症のモデル死去、１７４センチで４０キロブラジル

ブラジル・サンパウロ市内の病院で１４日、女性ファッション
モデルのアナ・カロリナ・ヘストンさん（２１）が栄養失調による
感染症で死亡した。ヘストンさんは拒食症で、１７４センチの
身長に対し、体重はわずか４０キロだった。体重を身長の２乗
で割った体格指数（ＢＭＩ）では１８．５未満が「やせている」と
されるが、ヘストンさんは１３．２だった。
９月には「やせ過ぎモデルは過度のダイエットや拒食症を助
長する」として、マドリードのファッションショーで複数のモデル
が不採用となったばかり。世界的にやせ過ぎ問題が注目され
始めている中、ヘストンさんの死はファッション界に大きな波
紋を広げそうだ。（ 2006年11月17日16時23分時事）

正規分布（キー・ポイント）

正規分布表を使うためには、標準化する必要
がある。
x
z

1
f ( z) 
e
2

中心極限定理が重要。
z2

2
区間推定とは何をやるのか？（１）


「標本分布」＝標本統計量（標本平均とか標本分散と
か、標本の関数である確率変数）の分布がキー。
中心極限定理によって、標本サイズ大の場合、
x
N (, 2 / n)
であることから
Pr( 1.96 
x 

n
 1.96)  0.95
区間推定とは何をやるのか？（２）

この式をかきかえて
Pr( x  1.96


n
   x  1.96

n
)  0.95
このように作られた区間を「信頼区間」という。
信頼区間の意味
練習問題
［問］ある交差点を通過する車のスピード（時
速）を調べたところ、ほぼ正規分布にした
がっており、平均50km、標準偏差は18km
であった。制限速度が40km のとき、何%
の車がスピード違反をしていると考えられる
か。
練習問題
［問］ある集団のBMIが正規分布すること、ま
たその標準偏差が1.00であることがわかっ
ているとする。その集団から、100人のサン
プルをとり、そのBMIの平均値が19.20で
あったとする。母集団のBMIの平均につい
て、信頼度95％で区間推定をしなさい。
［問］その集団でBMIが18.00未満の人の割
合はどのくらいか？
解答
次式により、（95％）信頼区間をつくる。
Pr( x  1.96

n
   x  1.96

n
)  0.95
1.00
19.20
10
９９％信頼区間なら？
この区間推定の問題



母集団の標準偏差（σ）が既知であることが前提されてしまっ
ている。
標本の標準偏差（s）はわかっているだろうが、母集団の標準
偏差はわかっていないのがむしろ普通の状況だろう。
その場合につかわれるのがt分布。次の確率変数tは、自由
度n-1のt分布に従う。
x 
t
s/ n
標本標準偏差Sは、n-1で割る式による。nで割るS＊だと、
x 
t
s * / n 1
正規分布とt分布




t分布の発見者は、ウィリアム・ゴセット。ゴセットは、
ギネス・ビールの技術者だったので、会社の立場を
考えて、“Student”というペンネームで論文を発表
していたから、t分布のことをStudentのt分布とも
呼ぶ。
t分布には、自由度というパラメーターがある。
自由度を無限大にすると、t分布は、正規分布に一
致する。
したがって、サンプルが大きければ、σ未知でも、標
本ｓで代用正規分布を使ってよいことになる。
ｔ分布と正規分布の比較
0.45
0.4
0.35
0.3
norm
f(x,5)
f(x,10)
f(x,15)
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
-4.0
-3.0
-2.0
-1.0
0.0
1.0
2.0
3.0
4.0
標本から母集団を推測する2――失業率



標本の比率（割合）で母集団の対応する比
率（割合）を推定しようとする典型例。
完全失業者数/労働力人口が完全失業率。
完全失業率の数字の見方を考えるには、概
念がどうなっているか（「完全失業者」とは何
か、「労働力人口」とは何か）を知る必要が
ある。また、統計的推測そのものについての
理解（誤差への理解）が必要。
最近の失業率
2007年11月30日付け
『日本経済新聞』夕刊
最近の失業率


雇用改善は足
踏み。
正社員の有効
求人倍率はか
なり低い。
職業安定業務統計




職業安定業務統計（一般職業紹介状況）は全国の公
共職業安定所（ハローワーク）における職業紹介業務
の実績を集計した業務統計である。
求人倍率・・・「有効求人倍率」と「新規求人倍率」と
がある。１人の求職者に対してどれだけの求人があ
るかを示す指標である。
有効求人倍率＝有効求人数／有効求職者数（倍）
新規求人倍率＝新規求人数／新規求職者数（倍）
「有効」とは？求人・求職票は、原則として翌々月末
まで有効。
去年の「完全失業率」の報道
『日本経済新聞』
2006年12月1日付
夕刊
労働力調査について
１．調査の目的・沿革
国民の「就業及び不就業の状態」（就業状態）を明らかに
することを目的とし、昭和21年９月以降毎月実施している。
２調査対象
全国全世帯の中から、無作為に選定した約４万世帯に居
住する15歳以上の者約10万人
３．調査の期日
毎月末日現在で、月末１週間における就業・不就業の状
態を調査する（12月は20日から26日までの１週間）
４．調査の方法
調査員が対象世帯に調査票を配布し、世帯がこれに記入、
再び調査員が調査票を取集する。
労働力調査について
（就業状態の諸概念）
就業状態の区分
────── 調査でのとらえ方 ───────
───── 結果表の表し方 ─────
┌ 主に仕事
┐
│
│
├ 通学のかたわらに仕事
┼………………従業者 ┐
│
│
│
├ 家事などのかたわらに仕事 ┘
│
│
│
│
├ 就業者 ┐
調査期間中に少し ┤
│
│
でも仕事をしたか │
│
│
│
│
├ 労働力人口 ┐
│
┌ 仕事を休んでいた ……
休業者 ┘
│
│
│
│
│
│
│
├ 仕事を探していた ……………
完全失業者
┘
├１５歳以上人口
│
│
│
└ 仕事をしなかった ┼ 通学
┐
│
│
│
│
├ 家事
┼ …………………… …非労働力人口 ┘
│
│
└ その他（高齢者など） ┘
労働力調査の用語（１）
＜就業状態＞ 15歳以上人口について，調査週間中の活動状態
に基づいて次のように区分している。
 労働力人口：15歳以上人口のうち，就業者と完全失業者を合わ
せたもの
 就業者：従業者と休業者を合わせたもの
 従業者：調査週間中に賃金，給料，諸手当，内職収入などの
収入を伴う仕事（以下「仕事」という。）を１時間以上した者。な
お，家族従業者の場合は，無給であっても仕事をしたとする。
 休業者：仕事を持ちながら，調査週間中少しも仕事をしな
かった者のうち，1)雇用者で，給料，賃金の支払いを受けてい
る者又は受けることになっている者 2)自営業主で，自分の経
営する事業を持ったままで，その仕事を休み始めてから30日に
ならない者。なお，家族従業者で調査期間中に少しも仕事をしな
かった者は休業に含めず，完全失業者又は非労働力人口のい
ずれかとしている。
労働力調査の用語（２）
完全失業者：次の3つの条件を満たす者

1)仕事がなくて調査週間中に少しも仕事をしな
失業の３条件（ILO）
かった(就業者ではない)

2)仕事があればすぐ就くことができる
①without
work

3)調査期間中に，仕事を探す活動や事業を始め
る準備をしていた（過去の求職活動の結果を待ってい
②seeking
work
る場合を含む）
available for work
 ③currently
非労働力人口：15歳以上人口で上記以外の者
 労働力人口比率：15歳以上人口に占める労働力人
口の割合＝（労働力人口÷15歳以上人口）×１００
 完全失業率：労働力人口に占める完全失業者の割
合＝（完全失業者÷労働力人口）×１００

就業状態の調べ方
労働力（actual）方式
短い調査期間を限定し、その期間で就業状態を決
定する。「月末１週間で少しでも仕事をしました
か？」……労働力調査、国勢調査
 有業者（usual）方式
期間を限定せず、ふだんの状態で就業状態を決定
する「あなたはふだん収入になる仕事をしています
か？」……就業構造基本調査

労働力調査の結果の公表
・公表期日…………………原則として調査
月の翌月末
・結果の刊行時期
労働力調査速報………公表時
労働力調査月報………翌々月の下旬
労働力調査年報………翌年３月
労働・雇用に関する他の月次統計
・世帯を通じて調査するもの…………………
労働力調査（総務省）
・事業所を通じて調査するもの………………
毎月勤労統計調査（厚生労働省）
・業務統計によるもの…………………………
職業安定業務統計（厚生労働省）
労働力調査の調査票
労働力調査の調査票（続）
失業率の数字には誤差はどのくらいある
のか？（単純化された計算）



誤差には、標本誤差と非標本誤差とがある。
非標本誤差は、たとえば、誤記、集計ミス
等々であったり、統計環境の問題であったり
する。
標本誤差は、標本をとって調査することによ
り発生する誤差であるが、確率分布に関す
る知識を使ってコントロールすることができ
る。
失業率の数字には誤差はどのくらいある
のか？（単純化された計算）




実際にはそうではないが、単純無作為標本抽出
（＊）を行なって、労働力人口７万人のサンプルを得
たとしよう。
そのサンプルに含まれる失業者数は、「失業」を「成
功」と見た場合の「二項変数」。
「失業率」は、s/n。
サンプルが大きければ、失業率p=s/nは、平均π、
分散π（１－π）/nの正規分布をする。
（＊）実際は、層化二段抽出。
二項分布の期待値・分散（復習）
二項変数ｓは、ゼロワン変数の和であることに
注意する。すなわち、πを成功確率とすると、
n
s   xi
i 1
E ( xi )  0  (1   )  1   
V ( xi )  (0   ) 2  (1   )  (1   )     (1   )
 E ( s )  n
V ( s )  n (1   )
失業率の数字には誤差はどのくらいある
のか？（単純化された計算）
p 
z
N (0,1)
 (1   )
n
Pr(1.96  z  1.96)  95%
失業率の数字には誤差はどのくらいある
のか？（単純化された計算）
p(1  p)
p(1  p)
p  1.96
   p  1.96
n
n
P＝0.040, n＝70,000として±0.0014５
の誤差を見ておけば、95％の割合で（100回
の内95回は）正しい推定になる。
0.03８5５
0.04０
0.04１４５
失業率の数字には誤差はどのくらいある
のか？（単純化された計算）



信頼区間の幅には、nが大きく影響する。
以上の結果から見て、4.0％でなく、4.00％
と発表する（もう一桁余計に発表する）こと
はできそうもないことがわかる。
都道府県別失業率のように、サンプルが小
さい場合、その数字の利用には注意が必要
である。
謝辞
池の魚の数を数える例は、清水誠著『推測統計
はじめの一歩』（講談社ブルーバックス、2000年）
のものを使わせていただきました。
 信頼区間の図示は、T.H.ウォナコット/R.J.ウォナ
コット著、国府田恒夫/田中一盛/細谷雄三訳『統計
学序説』（培風館、1978年）のものです。
 総務省統計局のホームページ
http://www.stat.go.jp
に掲載されているいくつかの素材をつかわせていた
だきました。


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