経済統計学 Business Statistics

経済統計第三回５/１
Business Statistics
鈴木智也
紫英館３０４号
Office Hour：月曜日第２講時
1
はじめに
• この講義では、推測統計を扱う。
• 前回は記述統計のおさらい。
• 今回から推測統計に入る。
☆推測統計
母集団特性値を、標本データから計算した
標本統計量を元に、推測する。
2
推測統計の例 ①
☆政治：内閣支持率調査
• 母集団：有権者全体
• 標本：インタビューされた人達
• 母集団特性値：有権者全体の内閣支持率
• 標本統計量：インタビューされた人達の間
での内閣支持率
⇒まずは有権者にインタビューする。
3
推測統計の例 ②
☆気象：降水確率の予報
• 母集団特性値
ある気圧配置の日全体のうち、雨が降る日
の割合。
• 標本統計量
過去に同じ気圧配置をした日のうち、雨が
降った日の割合。
⇒まずは、過去の気象データを当たる。
4
推測統計の例 ③
☆環境：標識再捕獲による生息数調査
• 母集団特性値
ある地域に住む特定生物の生息数
• 標本統計量
捕獲した生物の中にいる、標識をつけた個
体の割合から推定した生息数
⇒まずはその生物に標識をつける。
5
標本調査：推測統計の第一歩
• 推測統計を行うには、まずは標本を採って
こなくてはならない（標本調査）。
標本をどう採るかで、標本統計量の値は
変わる。
⇒標本は、母集団を正しく代表するようなも
の（代表的標本）でなければならない。
6
標本抽出論
• もし標本調査に偏りがあれば、それは母集
団を正しく代表しない。
例）中日スポーツ新聞が、読者を対象に、プ
ロ野球の人気球団を調査したら？
⇒中日ドラゴンズの人気が、全国民を対象に
した調査結果よりも、高く出ることが予想さ
れる。⇒標本に偏りがある。
7
標本抽出論（続）
• 偏りのない標本調査は当たり前？珍し
い？
例）今年２月～３月の小泉内閣の支持率
Y新聞（やや保守）：49.4％
A新聞（やや革新）：41.0％
どちらを信じればよい？
8
標本抽出論（続々）
☆無作為抽出（Random Sampling）
母集団を構成するどの個体についても、そ
れが標本に選ばれる機会（確率）が同じで
あるようにする方法。［例：くじ引き］
⇒新聞の内閣支持率調査は、自社の読者を
対象にしていれば、無作為抽出ではない。
9
標本統計量
• 調査した標本から、標本統計量を計算す
る。
• 推定したい母集団パラメータが
平均ならば、標本平均
分散ならば、標本分散
何かの比率ならば、標本比率。
10
標本平均
最も代表的な標本統計量の一つ。
標本調査で観測された変数Xの値の平均
1
X  ( X1  X 2    X n )
n
X はサンプル次第で値が変わる確率変数。
 その平均値（期待値）と分散は？
11
標本平均の平均値
標本平均は大体どのくらいの値？
⇒期待値を取る（付論参照）
1
 1 n
E X   E  ( X 1  X 2    X n )   E X i 
n
 n i 1
X i の期待値は X なので、
1 n
E X     X   X
n i 1
重要：標本平均は平均的には  Xに等しい。
12
標本平均の分散
標本平均はどれくらい値が散らばる？
⇒分散を取る（付論参照）
1
 1
V ( X )  V  ( X 1    X n )  2 V ( X 1    X n )
n
 n
無作為抽出された標本なら、それぞれの Xは独立。
1
n X2  X2
V ( X )  2 V ( X 1 )    V ( X n )  2 
n
n
n
 標本平均の分散はサンプルの個体数を
多くとる程、小さくな
る（結果が安定）。
13
中心極限定理
以上のことをまとめると、
平均値 X ，分散  X2 の母集団から採ら
れた大きさ n の標本の平均値 X の
平均値は  X ，分散  X2 /n である。
さらに、 X は正規分布に従うことが
知られている。
 X ～N (  X ,  )
2
X
14
標準化
• 正規分布に従う変数の標準化
確率変数が正規分布に従う場合は、
平均を引いて、標準偏差で割れば、
その変数は標準正規分布に従う。
Z
X  X
 X2
～N (0,1)
 この統計量を元に検定（次回）。
15
付論：期待オペレーター
• X、Yは確率変数、ｃは定数。
E ( X  Y )  E ( X )  E (Y )
E (cX )  cE( X )
E ( X  c)  E ( X )  c
確率変数の分散は次のようにも書ける。
V ( X )  E[{X  E ( X )}2 ]
これより、次の関係が
導ける。
V (cX )  E[c 2 { X  E ( X )}2 ]  c 2V ( X )
16

Download Report