第1回小テストの基礎知識（標本調査）

第１回小テストの基礎知識（標本調査）
• 表が出る確率 p の（ゆがんだ）コインを n 回投げて x 回表が出るとき，
x は二項分布にしたがう確率変数で，x ∼ B(n, p) と表される．
• 確率変数
x ∼ B(n, p) の平均（期待値）は E(x) = np，標準偏差（分散の平方根）
√
は n p (1 − p)
• 母集団（個人）のサイズ N が大きいとき，n 人を抽出して x 人がある属性（政策に
賛成など）をもっている比率（割合）は（近似的に）「正規分布」にしたがう確率変
数である．
p は推定したい未知の比率で，母集団比率と呼ばれる．
• n が大きいとき，標本比率 p̂ = x/n
（母集団比率 p の推定量）は正規分布で近似
√
され，その平均は np，標準偏差は p(1 − p)/n である．
• 標準偏差の表現を少し変えて，母集団比率 p が 95%程度含まれる区間は次のように
求められる．
√
p̂(1 − p̂)
p̂ ± 2
n
• 母集団平均 µ の推定量（標本平均）を x̄，標本の標準偏差を s と表すとき，母集団
平均 µ が 95%程度含まれる区間は次のように求められる．
s
x̄ ± 2 √
n
第１回小テストの練習問題（標本調査）
(1) 意識調査で 20 歳から 39 歳の男女を住民基本台帳から抽出し，質問票を郵送したとこ
ろ，n = 900 人が回答して，ある政策の支持者が 60% (p̂ = 0.6) となった．無作為
抽出と考えると，母集団における支持率はどの程度と考えるべきか．
(2) 前問で，調査票を郵送したのは m = 3000 人，回答率は 30%であった．どのような
点に注意すべきか．
(3) 同じ時期に実施した電話調査では，年齢が 20–39 歳であることを確認できた個人 3000
人のうち，男性 600 人，女性 900 人，計 n = 1500 人が回答し，政策の支持率は 45%で
あった．この結果をどう解釈すべきか．
(4) ある世帯調査に関して，世帯の消費支出が 316,166 円で，その標準誤差率は 1%以内
であると表示されている．その調査が適切な無作為抽出で実施された場合，標本平均
x̄ の標準偏差（標準誤差） se(x̄) はどの程度の大きさか．
解答例
講義の復習
√
1. 可能性が高い（95%程度）値は p̂ ± 2 ×
p̂(1 − p̂)
n
表示すると，次のように 57%∼63%程度となる．
√
60 ± 2 ×
60 · 40
900
で求める．パーセントで
= 60 ± 2 × 1.63 = (56.7, 63, 3)
2. 回答率が比較的低いため，無回答者が回答者と異なる属性を持っていないか，過去
の類似の調査と比較するなど，注意が必要である．たとえば，賛成意見を持つ人の
回答率が高い，性別の支持率に違いがあり，女性の方が回答率が高いなど．
3. 郵送調査と電話調査では，回収率は一般に異なるため，直接，二つの調査結果を比
較するだけでなく，同種の過去の調査と比較することも考える．調査結果を無条件
に信用せずに，信頼性を考える習慣を身に着けること．
4. 標準誤差率は
推定量の標準偏差
推定量
=
se(x̄)
x̄
と定義される．se(x̄)/316166 = 0.01 を解くと，
se(x̄) = 316166 × 0.01 ≈ 3200（円）
この計算では標本の大きさは不要だが，統計を読むときには，常識として確認する
こと．家計調査なら約 8000 世帯．
標本平均の標準誤差 =
母集団の標準偏差
√
n
母集団の 1 世帯あたり消費支出は，ほぼ次の範囲と考えてよい．
母集団平均の範囲 = 標本平均 ± 2 × 推定量の標準偏差
316200 ± 2 × 3200 = (319800, 322600)

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