2014/1/31 ”解析学 II-距離空間 ”試験問題（片山） (X, d), は距離空間とする．C b (X) を X 上の有界な実数値連続関数全体とする．基本問題 (定義・定理の記述は, 正確でない限り配点されない，全問解答せよ．配点 (1)∼(5) 5 点，(6)(7)15 点） e が X の完備かである定義を書け． (1) X (2) Dini の定理を書け．また，「極限の関数が連続でないときは成立しない」ことを示す判例を上げよ． (3) X 上の関数が，ある点で連続，一様連続である定義を書け．また，ある関数の集まり H が，同程度連続である定義を書け． (4) Stone-Weierstrass の定理を書け． (5) Bessel の不等式，Parseval の等式を書け． (6) (i) 連続関数だけど一様連続でない例をあげ，それが一様連続でないことを示せ． (ii) 同程度連続でない関数族の例をあげよ． b (7) 関数列 {fn }∞ n=1 ⊂ C (X) が，次を満たすことを示せ． lim ∥fm − fn ∥∞ = 0 m,n→∞ ∃ =⇒ f ∈ C b (X) : lim ∥fn − f ∥∞ = 0 n→∞ ただし，∥ · ∥∞ は一様ノルムとする．選択問題 (何問でも解答して良い．配点各 15 点） (8) (f, g) ∈ C b (X) × C b (X) に対して，f ∨ g の定義を述べて，f ∨ g ∈ C b (X) を示せ． (9) C b (X) × C b (X) 7−→ C b (X) の写像 (f, g) −→ f ∨ g (f, g ∈ C b (X)) は，連続写像であることを示せ． (10) {1, sin nθ, cos nθ : n ∈ N} で生成されるベクトル空間は，{f ∈ C[−π, π] : f (−π) = f (π)} で一様ノルムに関して稠密であることを示せ． (11) C[a, b] ⊙ C[a, b] := { n ∑ } fi (s)gi (t) : fi , gi ∈ C[a, b], ∀ n∈N ⊂ C([a, b] × [a, b]) i=1 とするとき，C[a, b]⊙C[a, b] は，C([a, b]×[a, b]) で一様ノルムに関して稠密であることを，Stone-Weierstrass の定理を用いて示せ． (12) Hilbert space H の元 ξ, η に対して，次を示せ．ただし, i = √ −1 1∑ k i ∥ξ + ik η∥2 4 3 < ξ, η >= k=0 (13) L2 (−1, 1) の Hilbert 空間において， Pn (t) = 1 dn {(t2 − 1)n } 2n n! dtn は n 次の多項式であることと，m ̸= n ならば，次が成り立つことを示せ． ∫ 1 Pn (t)Pm (t)dt = 0 −1