広義積分

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定義
• 【狭義積分】[a, b] を有界閉区間とする。
Π := {a = x0 < x1 < · · · < xn = b}
とおき、Π := max |xi − xi−1 | と定める。
1≤i≤n
– 【注意】これは区間 [a, b] の有限個の分割である。
Mi :=
sup
xi−1 ≤x≤xi
f (x), mi :=
inf
xi−1 ≤x≤xi
f (x) と定める。
– 【注意】これらは f が有界閉区間[a, b] 上で有界ならいつでも定まる。
– 例えば (a, b] で連続な関数なら、
（(0, 1] 上の f (x) = 1/x のように）定めることはできな
いものも存在する。
n
Mi |xi − xi−1 |, sΠ :=
mi |xi − xi−1 | と定める。もし lim sΠ = lim SΠ であ
Π→0
Π→0
i=1
bi=1
れば、その値が（狭義）積分 a f (x) dx である。
SΠ :=
n
• 【ダルブーの定理】もし f (x) が有界閉区間[a, b] 上で連続なら、（狭義）積分可能である。
– 有界閉区間上の連続関数は必ず有界である（最大値と最小値を持つ）。
– 【注意】（閉でない）有界区間上の連続関数では積分できないものも存在する。——も
ちろん、「できる」ものも存在する。いつか。
• （狭義）積分は、区間を有限個に分割して面積を近似し、その極限として定義した。いきな
り無限の和で面積を近似するような羽目になることは避けなければならない（いろいろ変な
ことが起こりかねないから）。
• 【広義積分のアイディア】あくまで有界閉区間上で、有限分割の極限として積分を求めてか
ら、必要な極限を再び取って、積分の定義とする。
– つまり、うまい順序で 2 回極限を取ることで積分を定義する。
• 【定義】区間 (a, b]（記号的に “a = −∞” でもいい）で定義された関数 f が広義積分可能と
は、(a, b] に含まれるどのような有界閉区間 [c, b] でも f が（狭義）積分可能で、
b
lim
c↓a
f (x) dx
c
が存在することをいう。その極限値を広義積分といい、
b
a
f (x) dx と表わす。[a, b) も同様。
• 【定義】開区間 (a, b)（記号的に “a = −∞, b = ∞ でもいい）上で定義された関数 f が広義
積分可能とは、(a, b) に含まれるどのような有界閉区間 [c, d] でも f が（狭義）積分可能で、
lim
c↓a
d↑b
が存在することをいう。その極限値を
b
a
d
f (x) dx
c
f (x) dx と表わす。
1
• 【よくやる間違い】
∞
−∞
f (x) dx = lim
c→∞
c
−c
f (x) dx
もちろん、これが成り立つ場合もある（多い）が、少し追加の条件が必要。
• 【練習問題】積分の記号を見ただけでは、広義積分かどうか分からないので、グラフを考え
て判断する。
1
1
π
√
(1)
dx =
2
2
1−x
0 ∞
1
(2)
dx = ∞（存在しない）
1
+
x
0
π/2
(3)
tan x dx = ∞（存在しない）
0
∞
1
(4)
dx = π
2
−∞ 1 + x
2
いつ広義積分可能か
• 【広義積分できない 2 つの場合】
– 値が ∞ や −∞ になる（無限の面積を持つ）
– 狭義積分の極限が振動してしまう。
実は、本質的には両方とも同じ。振動する場合も例えば
|f (x)| dx は無限大になる。
• 【広義積分が無限大になる 2 つの理由】
– 関数自身が無限に大きな値を取る。
– 積分区間が無限に大きい。
この 2 種類を区別して考えないといけない。
• 【“変な” 広義積分】世の中には「たまたま」広義積分が存在するとしかいいようのないもの
がある：
∞
sin x
dx
x
0
は広義積分が存在する。これは正の値と負の値が打ち消しあって、たまたま収束する。つまり、
f − (x) := − min{f (x), 0}, f + (x) := max{f (x), 0} とおくと、 f + (x) dx = f − (x) dx = ∞
なのに f (x) dx = f + (x) − f − (x) dx < ∞ となる場合。
– 【注意】今の例で分かるように、広義積分では、一般には
f (x) + g(x) dx = f (x) dx + g(x) dx
である。（すべての広義積分が存在することが最初から分かっていれば正しい）
このような積分は、大変理解しづらい。（
「たまたま」には理屈がつかない。
）そこで、残念な
+
−
がら、そのような関数は見捨ててしまって、 f (x) dx も f (x) dx も両方とも存在する
場合を考える。この場合には f (x) dx = f + (x) dx − f − (x) dx だし、特に |f (x)| dx =
+
−
f (x) dx + f (x) dx < ∞ である。
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