固体電子物性特論第２回石橋隆幸講義ファイルのダウンロード http://mst.nagaokaut.ac.jp/~t_bashi/ ISHIBASHI_LAB/ppt2009.html 逆格子と回折 • X線回折や電子線回折の測定は、逆格子点を計測している。逆格子とは実格子をフーリエ変換したもの逆格子ベクトルで表現される長さは実格子の逆数回折の条件任意の波 exp ik  r の位相が k  r だけずれると expik  k r  QuickTimeý Ç² êLí£ÉvÉçÉOÉâÉÄ Ç™Ç±ÇÃÉsÉNÉ`ÉÉÇ¾ å©ÇÈÇžÇ½Ç …ÇÕïKóvÇÇ• ÅB   expik  r  expik  r ここで、k  g とすると  位相差 k  k r  k  r expik  k r  expik  r  元の波と同じ位相！！強め合う。（回折条件）回折の条件逆格子空間に置ける回折条件 k  g k k  k g 弾性散乱であるとき k  k なので、    2 2  k  g  k  k   2 2g  k  g   k  g 2 2n 2 ,k ここで、 g  から d    2dsin  n が求まる。 Ewald による考察回折 100keVの電子線   0.37nm k 逆格子は格子定数（数nm）の逆数 k’ 試料 2 k  Ewald球は逆格子間隔より十分大きい Ewald球半径は 2  回折が起きる条件 XRD (-2) の場合 scan k’ 2 k 原点 Ewald球新物質MnGeP2の作製 c a Mn Ge P K. Minami et al., JJAP 44 (2005) L265. 透過型電子顕微鏡 QuickTimeý Ç² êLí£ÉvÉçÉOÉâÉÄ Ç™Ç±ÇÃÉsÉNÉ`ÉÉÇ¾å©ÇÈÇ žÇ½Ç…ÇÕïKóvÇÇ• ÅB http://www.jeol.co.jp/science/em/denshisen.html 特長回折パターン原子像 QuickT i meý Ç² êLí£ÉvÉçÉOÉâÉÄ Ç™Ç±ÇÃÉsÉNÉ`ÉÉÇ¾å©ÇÈÇž Ç½Ç…ÇÕïKóvÇÇ• ÅB QuickTimeý Ç² êLí£ÉvÉçÉOÉâÉÄ Ç™Ç±ÇÃÉ sÉNÉ`ÉÉÇ¾å©ÇÈÇžÇ½ Ç…ÇÕïKóvÇÇ• ÅB 反射高エネルギー電子線回折 RHEED 電子線試料表面に対して数度の入射角特長結晶構造表面平坦性表面10nm程度の情報結晶成長中の観察反射高エネルギー電子線回折 RHEED QuickTimeý Ç² êLí£ÉvÉçÉOÉâÉÄ Ç™Ç±ÇÃÉsÉNÉ`ÉÉÇ¾å©ÇÈÇž Ç½Ç…ÇÕïKóvÇÇ• ÅB http://www.surf.nuqe.nagoya-u.ac.jp/ichimiya/gallery/RHEED_Si7x7.html 反射高エネルギー電子線回折 RHEED 回折 QuickTimeý Ç² êLí£ÉvÉçÉOÉâÉÄ Ç™Ç±ÇÃÉsÉNÉ`ÉÉÇ¾å©ÇÈÇž Ç½Ç…ÇÕïKóvÇÇ• ÅB k k’ 試料 2 k Ewald球逆格子ロッド点はEwald球と逆格子ロッドがぶつかったところ表面の逆格子表面バルク結晶の実格子バルク結晶の逆格子表面の原子間隔が大きくなると逆格子はロッド状になる反射高エネルギー電子線回折 RHEED リング状にスポットが並ぶ原子レベルで平坦平坦表面に凹凸があるまとめ • 原子の結合と結晶構造 • 逆格子周期性持つ結晶はフーリエ空間で取り扱うことができる。 • 逆格子ベクトル逆格子は、逆格子ベクトルによって表現される • 逆格子と回折 X線回折、電子線回折などの回折現象は逆格子点を計測している。ブリルアンゾーン逆格子ベクトルで表現した回折条件 2g  k  g2 両辺を４で割ると   k 2   g g  k    2  2 2  g g g   k  k cos    2  2 2  g k cos   よりである必要がある。 2  波数ベクトル k が逆格子ベクトルの２等分面上にある  g ブリルアンゾーン 2g  k  g2 の条件を満たす面で囲まれた領域をブリルアンゾーンと呼ぶ。  特に最小のものを第一ブリルアンゾーンと呼ぶ。格子振動とフォノン固体では、原子同士が化学結合で結びついている。一つの原子を振動させると固体全体に振動は伝わる。結晶の場合はある波数をもった波として伝わる。このような振動を格子振動とよぶ格子振動とフォノン古典論で格子振動を表してみる。質量Mの原子をバネ定数Cの化学結合でつながっているとする。力学の運動方程式の問題演習問題原子変位uについての運動方程式を立て、その固有値が   2C M sinqa 2 12 で表されることを示せ。  (1.7) 演習問題のヒント s番目の原子について運動方程式を立てる。 us-1 us us+1 C s-1 s x s+1 a (us-1-us)だけ縮んだ右方向へ C(us-1-us) の力 (us+1-us)だけ伸びた右方向へ C(us+1-us) の力 d 2 us M 2  Cus1  us   C us1  us  dt 解を us  uq 0 expit  qx と仮定し代入  固有振動数 q  2  波数格子振動とフォノン演習問題の答え 12   2C / M sinqa 2  格子振動とフォノン演習問題の答え 12   2C / M sinqa 2  波が伝わる速度（群速度）は d 12 vg  dq  C / M   a  cos qa 2 vg  C / M  a 12  逆格子ベクトルの半分の周期で繰り返す第一ブリルアンゾーン qが小さい時波は音波として伝わる  a* vg  0 qが  の時 a 2 波は定在波となる２種類の原子がある場合    C1/ M1  1/ M 2    1/ M1  1/ M 2   4 sin qa 2 M1 M 2 2 光学分枝  音響分枝 2  12    音響分枝と光学分枝光学的モード音響的モード３次元の場合基本格子にN個の原子を含む場合、分枝の数は3N本音響分枝３本光学分枝３（N−１）本フォノン格子振動のエネルギーは量子化されている光子（フォトン）と類似波である粒子である（ボーズ粒子）フォノン n個のフォノンが励起されたときのエネルギーは E n  n 1 2  E0  1 2  零点振動によるエネルギー不確定性原理によるフォノン温度T、振動数におけるフォノンの平均粒子数 N 1    exp  1 kT   キッテル、固体物理より格子比熱 U Cv T 定積比熱  9Nk(T / D ) 3  xD 0 dx  x e /(e 1) 4 x x  D   D /k D デバイ温度  D デバイ振動数   格子振動の振動数の上限   例えば、結合が強く原子が軽いとデバイ温度は高くなるー＞比熱は小さくなる 2 エネルギーバンドブロッホ関数エネルギーバンド