Q&A Q：第９回の１ページの問題（ばねの振動を月で・・・スペースシャトルで・・・）で、m が変化するのに、なぜ周期 T は変化しないのですか？ A：m は質量ですので、月でもスペースシャトル内でも変化しません。質量 m の物体に作用する重力 mg の大きさは、g が変化しますので変化します。ちなみに今日勉強する振り子の周期 T は、月で実験すると地上での周期より長くなります。 Q：不思議に思っていることといえば、高校の時に友達が「水のみ鳥」を並べて遊んでいたのを思い出します。あの「水のみ鳥」の動くしくみをいつか授業で取り上げてほしいです。 A：重心を勉強する頃に説明します。もう少し待っていて下さい。 A：F =－kx とするときと、F = kx とするときの違いがわかりません。k は常に正なのですか？ Q：k は常に正です。 F =－kx の「－」は、変形の向きと復元力 F の向きが逆向きであることを示しています。 F は色々な力を表すときに使われるので混乱しますね。例えば F が復元力とつり合っている力を表している場合は F = kx になったりします（右の図参照）。また、復元力の大きさ F と変形の大きさ x の関係は、 F = kx でよいかと思います。 A:ばねのところで、以前やった等速円運動の式と同じものがでてきて驚いた。混乱しないようにしっかり復習しておきたい。 B:等速円運動を横からみると単振動です。ですので似ているところがたくさんあります。下のまとめ参照等速円運動単振動 x(t) = r cos (ωt + θ0 ) y(t) = r sin (ωt + θ0 ) ↑ 半径 x(t) = A cos (ωt + θ0 ) ↑ 振幅 ω = 2πf 角速度回転数周期 f = T = 角振動数 ω 2π 振動数 1 2π =ω f 第10回（6/3） 1 ページ周期 4.2 減衰振動と強制振動 p52 ばねの単振動も、単振り子も空気抵抗や摩擦のため、何もしなければ、現実の振動は左の図のように、振幅が時間とともに小さくなっていく。力学的エネルギーが熱等にかわるために振幅が減衰していく振動を減衰振動という速度に比例する抵抗があるときの振動つり合いの位置からの変位x と復元力が逆向きという意味のマイナス抵抗がない時の角振動数 ω = バネに限らず、復元力－kxが作用している質量 m の物体 k m ( k = mω2 ) 復元力＝－kx ＝－mω2x を受けて単振動する質量 m の物体に、速さに比例する抵抗－2mγv が働く場合を考える－γv とすべきだが、上のように γ を定義すると ω と γ の関係がシンプルになる（同じ単位）。抵抗が質量 m に比例するわけではないことに注意復元力＝－kx ＝－mω2x で復元力が m に比例するわけでないのと同じ抵抗が速度 v と逆向きという意味のマイナス運動方程式（ ma = F ） ma = －kx－2mγv =－mω2x－2mγv 解けることを要求しない d2x = －mω2x－2mγ dx dt2 dt 2 dx dx + 2γ + ω2x = 0 2 dt dt m e－γt 抵抗を－2mγv とおいたので微分方程式が簡単になる。 x = ye－γt とおくと（y：振動する部分， e－γt ：振幅の減衰） y = A cos (ω’t + θ0 ) 代入すると３ページへ dx dy －γt = e －yγe－γt dt dt dy －γt dy －γt d2x d2y －γt = 2 e －γ e － dt γe + yγ 2e－γt 2 dt dt dt dy －γt d2x d2y －γt = 2 e －2γ e + γ 2ye－γt 2 dt dt dt 第10回（6/3） 2 ページ直観的予想 (fg)’ = f’g + fg’ dy －γt dy d2y －γt e －2γ e + γ 2ye－γt + 2γ{ e－γt－yγe－γt } + ω2ye－γt = 0 2 dt dt dt dy dy d2y －2γ + γ 2y + 2γ{ －yγ } + ω2y = 0 2 dt dt dt 両辺を e－γt で割って d2y + γ 2y －2γ 2y + ω2y = 0 dt2 正・0・負 d2y + (ω2－γ 2) y = 0 dt2 正・0・負 d2y = (γ 2－ω2 )y dt2 抵抗抵抗を2mγv とした理由（簡単になった）復元力減衰振動の３つの場合分け抵抗が小さい場合 γ<ω 中間 γ=ω 抵抗が大きい場合 γ>ω 減衰振動臨界減衰抵抗を 2mγv とした理由 y = A cos (√ω2－γ2 t + θ0 ) 2回微分すると－がついてもとにもどる単振動と同じ x= Ae－γt 振幅の減衰 cos (√ω2－γ2 t + θ0 ) 過減衰 d2y =0 dt2 p = √γ2－ω2 とおくと y = A+Bt y = Aept + Be－pt 2回微分すると 0 になる x = (A+Bt)e－γt 2回微分するともとにもどる γ>p>0 x = Ae－(γ－p)t + Be－(γ + p)t 正正振動を表している部分 x = (x0+v0t)e－γt 振動しながら振幅がしだいに小さくなっていく前ページ左上の図 ω = 10 s－1の場合振動はしない。最もすみやかについ合いの位置に収束する。抵抗が大きすぎて振動はしない。ゆっくりとつい合いの位置に収束する。 γ が大きくなるほど収束にかかる時間も長くなっていく過減衰抵抗が小さい（ γ が小さい）空気中では減衰振動するばねとおもりも、抵抗の大きい（ γ の大きい）水飴の中では振動せずに過減衰のような動きになることが想像できよう。臨界減衰減衰振動問題：身近な例で上記の３つの例を探してみよ。減衰振動減衰振動（例題４）の微分方程式が解けることをこの授業では要求しません。この解が γ （抵抗）の大きさによって３つに場合分けされおおまかにどのような運動をするのかを理解するようにして下さい。第10回（6/3） 3 ページブランコの物理（ブランコの不思議）ブランコを漕げない人はいないと思いますが、ブランコの漕ぎ方を物理的に説明できますか？ ③ ① ② ②の位置で存在する主な力を書き出したがどれも揺れの方向に垂直なものばかり。後ろから人が押せば、揺れの方向に加速できるが乗っている人はいったいどうやって自力で漕げるのか？座り漕ぎは特に難しい・・・立ち漕ぎの方がわかりやすい。（１）ブランコの動画をみて考えてみよう。（２）おもりとひもを使った振り子の実演を見て考えてみよう。（３）究極の漕ぎ方とは？普通、ブランコを漕ぐときは、１往復の振動のうち、半分は何もしない。行きも帰りも「漕ぐ」にはどうすればよいのか？（人間は前後非対称なので、難しいかも・・・）答えは、何回か後で説明します。それまで、興味があったら考えてみて下さい。究極の漕ぎ方に挑戦してもよいかも・・・参考・実演：振り子の強制振動振り子の強制振動の場合は、ひもを持つ手を振動に合わせて左右に動かしている。ブランコの場合は、支柱が固定されているので、このような振り子の強制振動とは異なる。第10回（6/3） 4 ページ学科学生番号：氏名：この講義に関して何か意見や要望、感想等があったら何でも自由に書いて下さい。面白い物理の情報や、取り上げてほしい話題、不思議に思っていること等あったら書いて下さい。この紙で今日の出席を確認します。第１０回６月３日学科学生番号：氏名：この講義に関して何か意見や要望、感想等があったら何でも自由に書いて下さい。面白い物理の情報や、取り上げてほしい話題、不思議に思っていること等あったら書いて下さい。この紙で今日の出席を確認します。第１０回６月３日