はりのたわみ • いま，中立軸からyの距離にある応力度をσxとすると • M＝Σ（σx dA）× y • として示される。 • yの距離の伸びを⊿dx とすると • σx＝E・⊿dx/dx • となり，三角形の相似から • ρ／dx＝y／⊿dx ∴⊿dx/dx＝y／ρ • となるので，σx＝E・y／ρである． ρ は曲率半径 I • したがって，最初の式（モーメント）は次のようになる． M = ∑( dy A点からxの位置における接線は =tanθ dx で表される.また ρ ⋅ dθ = dS = (dx) 2 + (dy ) 2 = dx 1 + ( したがって，曲率は dy 2 ) dx dθ 1 × dy 2 dx 1+ ( ) dx dθ dy ここでの値は = tan θの式をxで微分すると dx dx 1 ρ = dθ (1 + tan θ ) × dx dx 2 d2y d2y 2 dθ この式より = dx 2 = dx 1 + tan θ EI 1 幾何学的条件から ρ ∴ =− d2y dx 2 E ρ ∑ dA × y 2 = I EI ρ d2y 1 ρ 1 ＝ ⎛ dy ⎞ 1+ ⎜ ⎟ ⎝ dx ⎠ 2 × dx dx 2 = 2 2 ⎛ dy ⎞ ⎛ dy ⎞ 1+ ⎜ ⎟ { 1 + ⎜ dx ⎟ dx ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 下向きにたわむときを正としたほうが都合がよいから，符号も考慮して曲率半径は次のように表される。 1 =− d2y 2 }3/ 2 きわめて小さい（negligible small） d2y dx 2 dx 2 2 ⎛ dy ⎞ 1+ ⎜ ⎟ ⎝ dx ⎠ M → = M= ρ ρ EI 1 dA) × y = d2y はりのたわみの微分方程式力学的条件から ρ 曲率半径は ρ 2 Ey は断面2次モーメント E は弾性係数（ヤング率） d2y はりのたわみの微分方程式力学的条件と幾何学的条件より d2y M = − EI dx 2 M はモーメント E は弾性係数（ヤング率） I は断面2次モーメント dx 2 =− M EI 1 d2y P.２２例題８ M＝－P・(l－x)だから dx 2 =− M EI x B点を原点とした場合 y P(l − x) = 2 EI dx d2y (1) ⎛ x2 ⎞ P ⎛ lx 2 x3 ⎞ − ⎟ + c1x + c2 ⎜ lx − ⎟ + c1 ) dx＝ ⎜ ⎜ ⎟ 2 ⎠ EI ⎜⎝ 2 6 ⎟⎠ ⎝ はりの境界条件θＡ＝0，yＡ＝0より，c1＝0，c2＝0 ( θ= P EI P EI x dx 4 = (1) q を順次積分する EI d3y dx3 d2y = q q x + c1 → c1 = − l (∵ x = lのときせん断力0 ) EI EI = ( d2y dx 2 ∴ y = d 2x d nx d n −1x dt n dt n −1 → yB = ql 4 8 EI 1 q(l − x)2 EI 2 ( q 6l 2 x 2 − 4lx3 + x 4 24 EI ) 2階線形微分方程式予習：線形微分方程式ここに，xはtの関数である． = ) x = 0,θ = 0 → c1 = 0 ) 以下のように未知関数とその導関数について 1次式になっている方程式を線形微分方程式と tの関数または定数係数いう．（1） x（n）＋a1(t)x（n－1）＋……＋an(t)x＝f(t) x dy q 2 x3 = (l x − lx 2 + ) + c1 dx 2 EI 3 2 2 3 ⎛ q l x lx x4 ⎞ y= − + ⎜ ⎟ + c1x + c2 2 EI ⎜⎝ 2 3 12 ⎟⎠ x = 0, y = 0 → c2 = 0 y q 2 q 2 x + c1x + c2 → c2 = l (∵ x = lのときモーメント0 ) 2 EI 2 EI q 3 q q 2 x − lx 2 + l x + c3 → x = 0のときたわみ角0 → c3 = 0 6 EI 2 EI 2 EI q q q y = x4 − lx3 + l 2 x 2 + c4 → x = 0のときたわみ0 → c4 = 0 24 EI 6 EI 4 EI q ∴ y = x 4 − 4lx3 + 6l 2 x 2 24 EI dx 2 dy = dx 1 qx 2 EI 2 = ( ⎛ x2 ⎞ P ⎛ lx 2 x3 ⎞ − ⎟ ⎜ lx − ⎟, y = ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ 2 2 EI 6 ⎟⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 問５ d4y 2 dx dy q x 3 + c1 = dx 6 EI y q y= x 4 + c1 x + c 2 24 EI q 3 x = l , θ = 0 → c1 = − l 6 EI 3q 4 x = l , y = 0 → c2 = l 24 EI q x 4 − 4 l 3 x + 3l 4 ∴ y = 24 EI 積分して P (l − x ) P ⎛ x2 ⎞ dx = θ＝∫ ⎜ lx − ⎟ + c1 ⎜ 2 ⎟⎠ EI EI ⎝ さらに積分して y＝∫ d2y dt 2 d 2x dt 2 d 2x dt 2 + a1 (t ) dx + a2 (t ) x = f (t ) x′′ + a1 (t ) x′ + a2 (t ) x = f (t ) dt +b dx + cx = f (t ) dt +b dx + cx = 0 dt x′′ + bx′ + cx = f (t ) 表現を変えただけで同じもの x′′ + bx′ + cx = 0 ここに，xはtの関数である． 2