粘性流体力学講義プリント-5 第 5 章流れの安定性 1. N-S 方程式の厳密解や近似解が現実に存在するためには, 外部撹乱に対して安定であることが必要 • 不安定による流れ状態の遷移 (Re 小 → Re 大) 急激な遷移 (円管内の流れ), 段階的な遷移 ( 同軸円筒間の流れ) • 遷移は数学的には解の分岐に対応ホップ分岐 (定常から周期運動), ピッチフォーク分岐 (周期倍加) など • 乱流は時空間カオスに対応 (?) 2. 安定性 ˆ (x, t) に分けて, v ˆ (x, t) が速度場を定常流れ場 U (x)+ 非定常撹乱 v 安定, 中立安定 (非粘性), 不安定になるかどうかを調べる • 定義 (完全安定性) (i)kˆ v (x, 0)k < δ であれば kˆ v (x, t)k < ² となる δ(²) が常に存在する (リャプノフの安定性) (ii) どのような δ に対しても limt→∞ kˆ v (x, t)k = 0 (特に, 適当な δ0 に対して, δ < δ0 なら limt→∞ kˆ u(x, t)k = 0: 漸近安定) • 線形, 非線形安定性 ˆ (x, t) → 0, 線形安定性: v ˆ (x, t): 有限 → 非線形安定性: v 超臨界問題: d |A|/ d t = ²2 |A| − β|A|3 (β > 0), 亜臨界問題: d |A|/ d t = −²2 |A| + γ|A|3 (γ > 0). 3. 線形安定性 ˆ (x, t), p = P (x)+ pˆ(x, t) • 連続の式, N-S 方程式に u = U (x)+ v ˆ に関して線形化を用いて v (i) 主流: ∇ · U = 0, (U · ∇)U = −ρ−1 ∇P + ν∆U , ˆ /∂t + (U · ∇)ˆ (ii) 撹乱: ∇ · v = 0, ∂ v v + (ˆ v · ∇)U = −ρ−1 ∇ˆ p+ ν∆ˆ v. ˆ = exp(σt)˜ • v v (x), pˆ = exp(σt)˜ p(x) とおいて, 固有値 Re(σ) < 0: 安定, Re(σ) = 0: 中立安定, Re(σ) > 0: 不安定 4. 平行流の安定性 ˆ =v ˜ (y) exp(i αx + σt) , v ˜ (y) = (˜ • U = (U (y), 0), v u(y), v˜(y)) とおいて, u ˜, p˜ を消去して v˜ の式を考える • オア-ゾンマーフェルト方程式 (無次元,2 次元): (U − c)(˜ v 00 − α2 v˜) − U 00 v˜ = (i αRe)−1 [˜ v IV − 2α2 v˜00 + α4 v˜], ここで, 位相速度 c = i σ/α = cr + i ci で ci = 0 で中立安定 • 境界条件 (例: v˜ = v˜0 = 0 at y = y1 , y2 ) と U の具体的な形 (例 U = 1 − y 2 ) を与えて ci = 0 となる中立安定曲線を (α, Re) 平面で調べることができる • スクワイアの定理: 2 次元平行流において, 2 次元撹乱に対する臨界レイノルズ数は常に 3 次元撹乱に対する臨界レイノルズ数よりも小さい → 2 次元撹乱を考えれば十分 5. 非粘性安定性に関する定理 • レイリー方程式 (オア-ゾンマーフェルト方程式で Re→ ∞): (U − c)(˜ v 00 − α2 v˜) − U 00 v˜ = 0. • レイリーの定理 (1): 非粘性の極限 (Re→ ∞) で不安定な主流の速度分布 U (y) は, 変曲点 U 00 = 0 を持たなければならない → 非粘性の極限では, 変曲点のない速度分布を持つ主流に対しては中立安定 (ci = 0) しかない • トールミンの定理: 非粘性の極限では, 対称または境界層型の速度分布を持つ主流に対して, もし変曲点をもてば撹乱は必ず増大する • レイリーの定理 (2): 非粘性の極限では主流が不安定である場合, 撹乱の位相速度 cr は Umin < cr < Umax の範囲になければならない