ベイズ的ロジスティックモデルに関する研究畜産経営管理学講座統計研究室松原慶尚 1 目次目的伝統的ロジスティックモデルベイズ的ロジスティックモデル応用例 1. 2. 3. 4. – – データ考察 5. まとめと課題 2 1. 目的 • 伝統的ロジスティックモデルの拡張 • 実際例（尿路感染症データ）への適用･考察 3 2.伝統的ロジスティックモデル • • Y 1 x  exp  g  x  px   (1) 1  exp  g  x  説明変数 x とパラメータ  の関係 g ( x)     x   x     x である確率 p 0 1 1 2 2 q q (2 ) 4 オッズ比の推定オッズ比 (odds ratio) exp   5 最尤推定法 • 対数尤度関数 L    n j1, x  J j 1  y log 1  p  x    j (3) j を  で偏微分して=0とおいた連立方程式の解が最尤推定値 6 最尤推定法の限界 • 標本数が小さい場合 • アンバランスなデザインの場合 • データ以外の情報が存在する場合最尤推定値の信憑性が欠ける 7 3.ベイズ的ロジスティックモデル • パラメータ p を確率変数とみなす • p は共役分布としてのBeta分布に従う • p の密度関数 j j j 1 B ,   •  1  1 p 1  p  j j 、0  p j  1 (7  は未知のハイパー・パラメータで、  1 ) 8 推定法 • 事後対数尤度関数 p y    log     1  l n p j 1 j j   n j  y j    1  log  1  p  (9 ) j を最大にするものを推定量として用いる 9 4.応用例 • リスクファクターの特定と分類が目的   • オッズ比 exp  の変化について考察を行う •  の値を変えるということは、事前情報の量を変える、ということである 10 表1：尿路感染症データ A 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 B 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 C 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 D 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 E 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 F 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 y 1 14 3 10 12 1 44 3 0 15 1 2 7 3 2 1 1 1 0 1 5 0 3 0 n 2 16 4 18 30 1 86 3 1 16 1 2 12 9 2 1 1 3 4 1 19 1 4 2 A B C D E F 年齢（24以下）経口避妊薬コンドーム滑剤付きコンドーム殺精剤隔膜 y 発症者数 n 観測者数 11 exp ˆ 2  0.929 0.9285 0.928 0.9275  1.2 1.4 1.6 1.8 2 0.9265 図1: 全モデルでのBに対するオッズ比 12 1.08 1.07 1.06 1.05 1.04  1.2 1.4 1.6 1.8 2 図2:DとFを除外した場合のBに対するオッズ比 13 0.24 0.24  0.22 1.2 1.4 1.6 1.8 1.2 2 0.18 0.18 0.16 0.16 0.14 0.14 0.12 0.12 図3:Bを除外した場合のDに対するオッズ比  0.22 1.4 1.6 1.8 2 図4:全モデルでのDに対するオッズ比 14 25 11 10 20 9 15 8 10 7  6 1.2 1.4 1.6 1.8 図5:Bを除外した場合のCに対するオッズ比 2 5 1.2 1.4 1.6 1.8 2 図6:Bを除外した場合のFに対するオッズ比 15 0.56 0.54 1.2 0.52 1.2 1.4 1.6 1.8  0.68 2 0.66 1.4 1.6 1.8 2  0.48 0.46 図7:Bを除外した場合のEに対するオッズ比 0.64 図8:BとCを除外した場合のE に対するオッズ比 16 考察 • コンドームと隔膜においては尿路感染症のリスクファクターとして非常に高い関連性がある • 経口避妊薬は尿路感染症にほとんど関連性はない 17 5.まとめ • 以上、ロジスティックモデルの拡張として、ベイズの定理を導入したベイズ的ロジスティックモデルの有効性を確認した 18 課題事前分布の想定を含む最適ベイズモデルの選択が重要な問題交差確認法や一般化情報量規準を用いて最適モデルを発見する 19