スライド 1

微分方程式
不定積分
y( x)  f ( x)
y ( x )   f ( x ) dx
例
y( x)  0
y ( x)  C
y( x)  sin(ax)
不定積分：
積分定数を1個含む
定数
1
y ( x) 
cos( ax )  C
a
定数変化法
y( x)  ay( x)  f ( x)
まず
(1)
f ( x)  0 の場合を考えると
y( x)  ay( x)
これはすぐ解けて
y( x)  C exp(ax)
次に、(1)の解として
y( x)  u( x) exp(ax)
の形を仮定してみる（定数変化法）。
(2)
定数変化法（2）
y( x)  ay( x)  u( x) exp(ax)
これを(1)へ代入して
u( x)  exp(ax) f ( x)
これは定積分で解ける。
y()  0 の場合を考えると u ()  0
x
u( x)   exp(ax1 ) f ( x1 )dx1

したがって(2)より
y( x)   exp a( x  x1 ) f ( x1 )dx1
x

変数分離型
y( x)  f ( x) g ( y)
これは
の形の方程式
dy
 f ( x) g ( y )
dx
dy
 f ( x)dx
g ( y)
と変形し、積分ができれば解ける
dy
 g ( y)   f ( x)dx
変数分離型の例
dy
y( x)  axy つまり
  axy
dx
dy
y を左辺、x を右辺に集めると
 axdx
y
dy

 a  xdx
y
a 2
積分を実行して log y   x  C
2
 a 2
 y  C exp  x 
 2 
Mathematicaで微分方程式を解く
In:[1]= DSolve[y'[x]==a*y[x],y[x],x]
Out[1]= {y[x]  Exp[ax]C[1]}
In:[2]= DSolve[{y'[x]==a*y[x],y[0]==b},y[x],x]
Out[2]= {y[x]  bExp[ax]}
In:[3]= a = 1.0; b = 2.0;
In:[4]= Plot[y[x] /. %2,{x,0,3}];
数値的に解く
In:[1]= NDSolve[{y'[x]==x+y[x],y[0]==0},
y[x],{x,0,3}]
Out[1]= {{y->InterpolationFunction[{{0.,3.}},<>]}}
In:[2]= Plot[Evaluate[y[x] /. %1],{x,0,3}];

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