統計基礎（第３回）確率の基礎早稲田大学大学院商学研究科２０１５年４月２２日大塚忠義 1 講義資料 http://tyotsuka.cocolog-nifty.com/blog/ から各自事前にダウンロードしてください 2 Agenda 第３回確率の基礎 • 確率とは • 確率の用語 • 確率変数と確率関数 • 等確率の世界 • 条件付き確率 • 事象の独立 3 確率とは(1) 確率( probability)とは、ある現象が起こる度合い、ある事象が現れる割合対象となる現象、事象は、結果があらかじめ定まっていないもの「起こる度合い」「現れる割合」は偶然性を含まない一意に定まった数値であり、発生の度合いを示す指標 4 確率とは(2) ある現象が起きる度合いを0から1までの数値で表した尺度結果が不確実・不確定な現象を確率を使って解釈することができる将来ある事象が（偶然に）発生する度合（可能性）を偶然性を含まない数値で表現したもの 5 確率の用語(1) 離散型：加算型数えることができる世界：人数、表の数：コイン投げ、サイコロ、合格率、死亡率（単純計算の場合）賭けの勝ち負け（骰子賭博やポーカー）直感的でわかりやすい大量計算処理に向かない事象が１万件を超すと扱いずらい 6 確率の用語(2) 連続型：不加算型数えることができない世界またはそれに近似される大量のデータ：時間、距離、価格・明日の株価・来年の地価・国民全体の死亡率と５０年後の人口・今後１００年間の大地震の発生・CMの効果・選挙の予測 7 確率の用語(3) 微分積分により数学的に処理することが可能 ⇒相当正確な近似をすることができる大量処理が可能 ⇒大量データ処理の場合に計算が容易大量処理の場合すべて連続型に置き換える ⇒大規模統計で活用する確率論は連続型と観念すべき ⇒仮説検定は連続型をベースに行う 8 確率の用語(4) • 試行：結果が偶然に支配される実験 • 根本事象：試行の結果 • 標本空間（Ω）：すべての根本事象を集めた集合 • 事象：標本空間の任意の部分集合 • 全事象：標本空間も事象の１つ • 空事象：事象が一つも含まれない集合サイコロを投げる例で考える 9 確率の公理 • • • • • 任意の事象（E)が起こる確率：P(E)＝p 任意の事象（E)が起こる確率は0以上1以下：０≦P(E) ≦1 全事象が起きる確率は１である：P(Ω）＝１共通の根本事象を含まない２つの事象Aと Bについてどちらかが起こる確率はP(A∪ B) ＝P(A)+P(B)：加法定理２つの事象AとBについてどちらかが起こる確率はP(A∪ B) ＝P(A)+P(B)－ P(A∩ B) 10 確率の用語(5) コイン投げで考える (1)試行：コインを１回投げる根本事象：表または裏標本空間：表、裏：２ (2)試行：コインを3回投げる根本事象：表表表、表表裏、表裏表、裏表表、表裏裏、裏表裏、裏裏表、裏裏裏標本空間：上記の数：２×２×２事象：例えば表が２回でる (3)試行：コインを１0回投げる場合の標本空間の数は？ 11 確率変数(1) ・コインを１回投げ、根本事象：表または裏では、コインを１億回投げる時に対応できない・日本人１億２千万人、年間１００万人死亡する・表＝１、裏＝0または死亡＝１、生存＝0 とする・コインを１００回投げ、表が60回出る・日本人の年間死亡者数・明日の日経平均株価 12 確率変数(2) ・表＝１、裏＝0または死亡＝１、生存＝0 というように根本事象を数値で表す・試行：コインを１００回投げる：根本事象：1,1,1,1,1,1,1,1,0,0・・・(100個）２の１００乗事象：表がX回出る全事象: ０≦X ≦100の101個の数値・確率変数：事象を数値で表したもの 13 確率関数(1) ・確率の表現 P(X=x i )  pi ・コインを１００回投げ表が50回出る P(X=50)  q ・全事象: ０≦X ≦100 100  P(X=x )  1 i i 0 P(X) は確率の公理を満たさなくてはならない 14 確率関数(2) ・関数の表現 y  f ( x) xが定まれば、計算式によりyが一意に定まる・確率関数 P(X=x)  f ( x) ・確率のモデル化：ある事象の確率変数が定まるとその事象が発生する確率を求めることができる 15 等確率の世界(1) 等確率：すべての根本事象が同じ確率で起こると仮定根本事象の数×根本事象の起こる確率＝1 𝟏 根本事象の起こる確率＝根本事象の数このクラスからランダムに1人を選ぶあなたが選ばれる確率は？等確率の前提で最も重要なのは根本事象の数を数えること 16 等確率の世界(2) P（E）＝事象Eの起こる確率＝事象Eに含まれる根本事象の数根本事象の数 P(E)についても確率の公理を満たす例題）サイコロを２回投げて出た目の数の和が10になる確率を求めよ。なお、骰子の目の出方は等確率とする事象Eの数：４６、５５、６４の３つ根本事象の数：６×６＝36 確率：1/12＝3÷36 17 等確率の世界(3) 等確率：すべての根本事象が同じ確率で起こると仮定骰子の目、コイン投げこのクラスからランダムに1人を選ぶ先験的確率：根本事象が起こる確率をあらかじめ仮定すること本当に等確率？経験的確率：試行実験のなかで個々の事象が起きた割合を確率とする：死亡率etc… 18 骰子の罠骰子は最初の乱数発生装置正確な立方体であることが条件距骨：牛の後ろ足の踝。骰子のもととなる古代エジプトの遺跡で副葬品として見られる実社会には、正確な骰子やコインはまれ 19 経験調査試行実験のなかで個々の事象が起きた結果をもとに率を定める統計的推論、仮説検定：統計学の発達商学、経済学の世界での成果死亡率、事故の発生率の調査 ⇒近代保険業の誕生散布度、平均からの乖離の調査・分析 ⇒ポートフォリオ理論、オプション価格理論 ⇒金融工学の誕生 20 条件付き確率(1) P（B/A)：条件付き確率：事象Aが起きたという条件のもとで事象Bが起きる確率例1）コインを2回投げる。1回目表という条件下で2回目が表となる確率は？（等確率を仮定） 1回目表という条件下でのすべての事象は表表、表裏の2つ、このうち2回目が表となる事象は１つ。従って確率は1/2 21 条件付き確率(2) 例2）壺のなかに赤玉3個、黒玉2個が入っている。1回目に取り出した球が赤の場合次に黒が出る確率赤を取り出した後壺の中には赤玉2黒玉2なので、1回目に赤を取るという条件下でのすべての事象は赤赤、赤赤、赤黒、赤黒の4つ、このうち2回目が黒となる事象は2つ。従って確率は1/2 22 条件付き確率(3) 𝐴∩𝐵に含まれる根本事象の数 P（B/A)＝ Aに含まれる根本事象の数 P(𝐴∩𝐵) ＝ P(𝐴) P(𝐴 ∩ 𝐵 ）＝ P(𝐴 ）＝ 𝐴∩𝐵に含まれる根本事象の数すべての根本事象の数 𝐴に含まれる根本事象の数すべての根本事象の数 P(𝐴 ∩ 𝐵 ）＝ P（B/A) P(𝐴 ）：乗法定理 23 事象の独立(1) P（B/A)＝ P(𝐵 ） P（A/B)＝ P(𝐴 ） P(𝐴 ∩ 𝐵 ）＝P（A) P(𝐵 ）のいずれかが成り立つこと事象Aは事象Bに影響しない。事象Bは事象A の起こる確率に影響しない例１：独立、例2：従属 24 事象の独立(2) コインを2回投げる。1回目表という条件下で2回目が表となる確率は1/2 コイン2回、100回投げ：無理なく独立の前提が見込める日本人１億２千万人、年間１００万人死亡する表＝１、裏＝0または死亡＝１、生存＝0とする・コインを１００回投げ、表が60回出る・日本人の年間死亡者数・明日の日経平均株価 25 事象の独立(3) 統計処理を行ううえで、独立性の前提は極めて重要！！多くの統計手法、確率モデルは事象の独立を前提としている 26 博打の落とし穴丁半の目は半々、確率1/2 骰子の目は1/6 骰子の目は直前の結果に影響されない独立事象でたら目の語源博打での勝ち運に乗って儲ける負けが込んでる。そろそろ逆目がでるころどちらが真実？ 27 独立性への疑問(1) 死亡率、事故の発生率：各個人の死亡、個々の事故の発生は独立と仮定して保険制度が成立 ⇒パンデミック、大災害はその前提を崩し、保険会社を破綻させるパンデミック：16～19世紀のペストの大流行はヨーロッパの人口を１/３に。。スペイン風邪は全世界で1千万人を超える死者 28 独立性への疑問(2) 大型旅客機は同時に墜落しない：Sep.11では４機同時に墜落株価モデル、オプション価格モデル行動は過去の価格に影響される ⇉モデルエラーの発生経済は理論通りの動きをしない行動ファイナンスの発達 29 独立性への疑問(3) ほとんどの統計学の本は、コイン投げサイコロ投げから理論が展開される多くのモデルで独立性は暗黙の前提現実社会に独立な事象は、ほとんど存在しない：特に経済事象は。。従属事象を独立としてモデルに入れたら正しい結果は得られない！ゴミを入れた結果はゴミ 30 ベルヌーイ試行(1) 結果が2種類しかない試行コイン投げ、死亡、事故、成功・失敗実世界にベルヌーイ試行は非常に多い根本事象：成功＝1、失敗＝0 P(成功）＝P（X=1)＝p P(失敗）＝P（X=0)＝1-ｐ＝q p+q=1 x 1 x P( X  x )  p q 31 ベルヌーイ試行(2) 実世界の多くの現象をベルヌーイ試行に当てはめることにより、単純化する骰子投げ：根本事象は１～６までの６つ１，２を成功、３～６を失敗とする死亡率：死亡：１、生存：０人口100万人の都市で年間1000人が死亡死亡の発生は独立と仮定。100万回のベルヌーイ試行を足し合わせる死亡率p:0.001=1000/100万？：こんな単純ではないが。。。 32 ベルヌーイ試行(3) ブラウン運動：空間上の微小粒子（原子レベル）の移動 2次元空間上、微小時間における右への移動：１、左への移動：-１ ⇒微小時間を積み重ねることで粒子の移動法則を説明（移動事象は独立と仮定）破産確率、信用モデル、オプションの価格モデルもブラウン運動を応用しているものがある 33 二項公式 p  q 1 ( p  q )  p  2 pq  q  1 2 2 2 ( p  q )  p  3 p q  3 pq  q  1 3 3 2 2 3 ( p  q )  f ( p, q, n)  1 n 二項公式は確率の公理を満たす関数はパスカルの三角形を使い、組合せと p,qをもとに展開できる 34 二項分布 x n x P( X  x )  n Cx p q 確率事象ｎ回の試行でｘ回成功する根本事象の数：２のｎ乗成功、失敗の確率：ｐ、ｑ N回の事象は独立であるという全体が必要確率関数X=ｘの確率は、n,x,p,qで表現できる ⇒確率を数式で表現することにより、パラメーター（母数という、この場合p)が定まると確率が求まる 35 Question? お疲れ様でした 36