補足プリント２：条件付き確率・独立・ベイズの定理
松井宗也 南山大学経営学部
平成 27 年 4 月 29 日
条件付き確率・独立・ベイズの定理
1
1.1
条件付き確率と独立性
条件付き確率
2 つの事象 {A}, {B} について、事象 {B} が起こったという条件のもとで、事象 {A} の起こる
確率
P (A ∩ B)
P (A | B) =
.
P (B)
ただし P (B) > 0。
条件付き確率の定義式を変形したものは
乗法定理
P (A ∩ B) = P (A | B)P (B).
独立性
2 つの事象 {A}, {B} について、
P (A | B) = P (A)
ならば、これらの事象は独立であるという。条件付き確率の式より独立性は
P (A ∩ B) = P (A)P (B)
と同値となる。
（どちらかの式が成り立てば独立となる。ただし P (A | B) は P (B) > 0 でないと
定義できない。）
1.2
ベイズの定理
2 つ事象 {A} と {B} に関して
P (A), P (B | A), P (B | Ac )
1
が分かっているときに P (A | B) を計算する公式。
ベイズの定理
P (A | B) =
P (A ∩ B)
P (B | A)P (A) + P (B | Ac )P (Ac )
（証明）右辺の分母が
P (B | A)P (A) + P (B | Ac )P (Ac ) = P (A ∩ B) + P (Ac ∩ B) = P (B)
と計算でき、また分子が P (A | B)P (B) = P (A ∩ B) となることから、条件付き確率の定義により左
辺と等しいことが分かる。
ベイズの定理（より一般的な場合）
事象 A1 , A2 , · · · , An が互いに排反でかつ A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An = S （標本空間をカバー）であると
き、事象 B ∈ S に対して
P (Ai ∩ B)
P (Ai | B) = ∑n
i=1 P (B | Ai )P (Ai )
が成り立つ。ただし P (B) > 0。ここで P (Ai ) は Ai の事前確率、P (Ai | B) は事後確率と呼ば
れる。
「統計学入門」東京大学教養学部統計学教室編 東京大学出版会 を参考にした。
ガリレイの問題（余興）
3 つのサイコロを投げて出る目の和が 9 となる場合と 10 となる場合に、出る目の組み合わせを全
て求めよ。それらはいずれも 6 通りしかない。このときに２つの場合の起こる確率は等しいと考
えて良いか？
答え。出る目の組み合わせは
和が 9
和が 10
126
136
135
145
144
226
225
235
234
244
333
334
となる。また、２つの場合の起こる確率は異なる。例えば 234 の組みは、3 つのサイコロの出る目の
順列を考えると 6 通りの場合があるが、244 の組みは 3 通りしかない。順列や組み合わせは補足プリ
ント 3 を参照せよ。
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