統計基礎（第６回）大数の法則と中心極限定理早稲田大学大学院商学研究科２０１５年５月２０日大塚忠義 1 Agenda 第６回大数の法則と中心極限定理 • ベルヌーイ試行 • 大数の法則 • 中心極限定理 • 正規分布の活用 2 ベルヌーイ試行(1) 統計上、算術平均は極めて重要 1 X  ( X1  n  Xn) は観測平均または観測確率と呼ばれベルヌーイ試行と確率論上重要な二つの法則に基づき、真の確率を導くために使用される 3 ベルヌーイ試行(2）本校の学生の１年間に交通事故の発生率 (ｐ)を知りたい事故にあった人：１、合わなかった人：0 事故の発生は互いに独立と仮定事故にあう確率はｐは未知 Sn  X1   X n は交通事故の実際の発生者数で確率変数である S n は２項分布に従うと想定できる 4 ベルヌーイ試行(3) B(n, ｐ)より、平均はnｐ Xもの関数なので、確率変数である E ( Sn )  np E( X )  p は実際の調査で得られた値であり、その平均は、発生確率となる 5 大数の法則(1) 大数の法則：観測平均と真の平均（確率）ｐの関係を示したもの lim P( X  p  c)  0 n  観測平均と真の平均の乖離が任意の常数ｃより大きくなる確率は、観測数が無限大になれば、ゼロに収束する真の平均は母平均といい、一般的には μで表すが、確率を示すためpとしている 6 大数の法則(2) 偶然発生の事象は観測数が多くなるほど実際の結果が真の結果に近づく（実際の結果÷観測数）は発生確率に近づく大標本で観測された平均は母集団の真の平均（母平均）とみなしてよい未知の母平均を知るためにはどの程度の標本数、モデルを作成すればよいか？ 7 大数の法則(3) 正確なコイントスイング（確率は0.5）すべて表の確率は１回：0.5 １０回：0.00098 0.5の10乗 50回: 0.00000000000000089 0.5の50乗大数の法則(4) 正確なコイントス（確率は0.5）ちょうど半分表が出る確率は１０回投げて表が５回：0.25 100回投げて表が50回:0.080,49回： 0.079,48回:0.073,47回:0.067・・ 47-53回表が出る確率:0.518 中心極限定理(1) 大数の法則より一般化された理論近代統計学の基盤をなす定理母集団分布が何であれ、母平均、母分散が存在すれば Sn  X1   X n の確率分布はnが十分に大きいとき、概ね正規分布に従う二項分布の場合 Sn : B(n, p) : N (np, npq) pq X : N ( p, ) n 中心極限定理(2) 厳密に表すとnを無限大にすると次のようになる b S n  n 1 lim P(a   b)   e a n  n 2 x2  2 dx 正規分布の活用ある集団について「XX以上の人数」「上位YY番目になる点数」という問いに答えるために正規分布（正規分布表、エクセル関数）を活用することができるただし、データが独立あることその確率分布が正規分布に従うと仮定できることが条件設問商学部の学生1000人に対し数学の試験を行った。その結果は平均点：65点、標準偏差：12点であった１）５０点から70点までの成績の人は何人くらいいると考えられますか２）80点以上の人は何人くらいいると考えられますか３）上位50番目以内に入るためには何点以上取ればよいですか Question? お疲れ様でした 14