第２日目第１時限の学習目標
順列、組み合わせ、確率の入門的知識を学ぶ。
（１）順列とは？
（２）組み合わせとは？
（３）確率とは？
確率分布とその期待値・分散の定義を知る。
（１）度数分布と確率分布の違い
（２）標本の平均・分散と確率分布の期待
値・分散
の違い
順列・組み合わせと確率－１
順列とは（１）
有限個の対象をある順序で並べた時、これ
はそれらの順列 (permutation) と呼ばれる。
順列や組み合わせで扱う対象は、一般に
元 (element)と呼ばれる。
とりわけ、相異なる n 個の元から r 個取
り出して並べた時の総数を nPr と表記す
るとすれば、
n!
n pr n( n 1) ( n r 1)
(n r )!
順列・組み合わせと確率－１
順列とは（２）
ここで、１ から n までの n 個の自然数の積は、n の
階乗
(n factorial) と呼ばれ、n! と表記される。すなわち、
n! n (n 1) 3 2 1
なお、０！＝１と定義される。
また、nPr の定義から、nPn 、すなわち相異なる n
個の対象を並べるすべての順列の総数は、n! である。
順列・組み合わせと確率－１
組合とは（１）
有限個の元の中から、幾つか (r 個）を取り出す取り
出し方の総数は、組合（くみあわせ）と呼ばれ、
nCr と表記される。
このようにして取り出された r 個を並べて順列を作
ると、その総数は、定義より nPr に等しいので、
nCr・r! =nPr、すなわち、
n!
n Cr
(n r )!r!
演習（５）
（１）３つのアルファベット a, b, c を並べる時、順
列の総数は幾つになるか、またそれらをすべて書き
下せ。
（２）４つの数字 １、２、３、４ の中から３つを取
り出す組合の総数は幾つになるか。また、それらを
すべて書き下せ。
（３）テストの信頼性の下限値を与えるといわれる、
教育や心理の分野でよく利用されるクロンバックの
アルファ係数では、２ｋ個の下位テストから成るテ
ストを、それぞれがｋ個から成る２つのテストに折
半し、２対のテスト得点間の相関係数の平均を考え
る。ここで、このような２対のテストは全部で何通
順列・組み合わせと確率－１
確率とは（１）
これまで、我々は観測により得られたデータをも
とに、データの特徴を表す幾つかの指標、すなわ
ち、統計量について考えてきた。
ここでは、個々のデータが観測される可能性（確
からしさ、或いは確率）についての理論について
簡単に紹介し、確率分布とその期待値・分散、母
集団と標本、推定の問題などの以降の議論に備え
る。
順列・組み合わせと確率－１
確率とは（２）
歴史的には、数学的な確率論の起こりは、１７世
紀のパスカル (Pascal, 1623-1662) に遡ると言われ
ている（例えば、丸山、１９５６）。
これまで多くの研究者が確率について論じてきて
いるが、それらのうち代表的なものは、１９世紀
のラプラス（Laplace, P. S., 1812) による経験的確率
論と、２０世紀のコルモゴロフ (Kolmogorov, A.
N., 1933) による公理論的確率論である（例えば、
東洋経済、統計学辞典, 1989)。
ここでは、後者の立場での確率の定義についての
み述べる。
順列・組み合わせと確率－１
確率とは（3）
第１日目に紹介したデータやそれによる統計量は、
何らかの仮説をもとに、われわれが実験や調査等に
より観測して得たものであるが、これらの観測や実
験は、統計学では試行 (trial) と呼ばれ、試行により
得られた種々の結果の集合は、事象 (event) と呼ば
れる。
確率の定義に先立ち、つぎに事象に関する幾つかの
概念の定義をおこなっておく。それらは、和事象
(sum event)、積事象 (product event)、全事象 (whole
event)、余事象 (complementary event)、排反事象
(exclusive events) である。
順列・組み合わせと確率－１
確率とは（４）
和事象ー A か B のいずれかが起こる事
象：
積事象ー A と B が共に起こる事象：
全事象ー 試行のすべての結果を含む事
象：
空事象ー試行の結果を全く含まない事
A B
A B
A
c
象：
A B 余事象ー A をある事象とするとき、A が なる Aと B
起こらない事象：
排反事象ー 事象 A と B の積事象が空事
象であるような事象：
順列・組み合わせと確率－１
確率とは（５）
ある試行に対する任意の事象 A に対して、事象 A の
関数 P(A) が対応し、以下の条件を満足する時、P
(A) を事象 A の確率という：
(1) 0 P ( A) 1
( 2) A P () 1
A P ( ) 0
(3) A1 , A2 , が排反事象系なら ば
i 1
i 1
P ( Ai ) p ( Ai )
順列・組み合わせと確率－１
確率とは（６）
例１
一般に X を試行の結果を表す値とし、XЄA を試
行の結果「事象 A が起こる」ということを表すも
のとする。この時、例えば、サイコロをふる実験
における１の目の出る確率は、つぎのように書け
る：
1
P(1) P({ X 1})
6
順列・組み合わせと確率－１
確率とは（７）
より一般的には、
1
P( X x) P({ X x}) , x 1,2,,6
6
サイコロの例に限らず、X=x となる確率を一般的に
p(x) と書けば、x がサイコロの場合のように飛び飛び
の値を取るような場合、P(X=x) は次のように書ける：
P({X x}) p( x), x x1, x2 ,, xn ,
順列・組み合わせと確率－１
確率とは（８）
うえのような関数 p(x) は、一般に確率関数
(probability function) と呼ばれる。
p(x) は、定義内のｘのそれぞれに対応する確率の分
布の状況を指し示すので、確率分布 (probability
distri- bution) の１つとも言える。
次の図は、サイコロの目の出る確率に関する確率分
布を図示したものである。横軸は、サイコロの目を
示し、飛びとびの値しか取らないことに注意が必要
である。
順列・組み合わせと確率－１
確率とは（９）
この例のような確
率分布は、第１日目
に紹介した心理検査
等の観測値の度数
分布とは、基本的に
異なり、あくまでも理
論的な分布である点
に注意せよ。
確
率
1
6
●
●
●
●
●
●
１
２
３
４
５
６
x
確率変数の期待値と分散－１
確率変数の期待値とは（１）
第１日目には、N 個のデータを手にしたとき、デー
タの分布の特徴を平均や分散等の指標（統計量）で
もって、簡潔に表現することを考えた。
これに対して、理論分布としての確率分布の場合に
も、 分布の特徴を平均や分散等の言葉で表現でき
るのであろうか。
答えは、Yes である。ただし、それらの定義には少
し異なる部分が生じる。まず、うえのような確率関
数の場合について述べると、つぎのようになる：
確率変数の期待値と分散－１
確率変数の期待値とは（２）
確率関数、すなわち確率変数がサイコロの目のよ
うに飛び飛びの値を取る場合（離散的変数の場合
）、確率分布の平均は、期待値 (expectation) と呼
ばれる。
離散的変数の場合の期待値は、つぎのように定義
される：
期待値
確率変数
I
確率関数
E ( X ) xi p( xi )
i 1
離散変数の期待値の例
サイコロの目（１から６）の期待値
サイコロは、どの目の出る確率も 1/6 である
ので、うえの定義から、その期待値は、
1
1
1
E ( X ) 1 2 6 ,
6
6
6
3.5
確率変数の期待値と分散－１
確率変数の期待値とは（３）
確率変数が、サイコロの目の場合のように飛
び飛びの値を取らず、連続的な値を取る場合
もある。
つまり、連続変数の場合、離散変数の場合の
確率関数にあたるものは(確率）密度関数
(density function) と呼ばれる。
その代表的な例が、正規分布 (normal distribution) である。正規分布の密度関数を f(x)
と書けば、f(x) はつぎのように表される：
確率変数の期待値と分散－１
確率変数の期待値とは（4）
平均μ、分散 σ２ の正規分布の密度関数は
f ( x)
1
e
2
1
2
2
(
x
)
2
平均μ、分散σ2 の
正規分布の分布の特徴
2.15%
34.13 %
34.13%
13.59 %
μ-2σ,
μ-σ,
2.15%
13.59%
μ,
μ+ σ,
μ+2σ
約７0%
約95%
確率変数の期待値と分散－１
確率変数の期待値とは（５）
連続変数の場合の確率変数の期待値は、つぎ
のように定義される：
期待値
確率変数
密度関数
E ( X ) x f ( x)dx
確率変数の期待値と分散－１
確率変数の期待値とは（６）
期待値は、定義より
1
E ( X ) x
e
2
この積分を行うと、
1
2
2
(
x
)
2
dx
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