第2日目第1時限の学習目標

第2日目第1時限の学習目標
 順列、組み合わせ、確率の入門的知識を学ぶ。
(1)順列とは?
(2)組み合わせとは?
(3)確率とは?
 確率分布とその期待値・分散の定義を知る。
(1)度数分布と確率分布の違い
(2)標本の平均・分散と確率分布の期待
値・分散
の違い
順列・組み合わせと確率-1
順列とは(1)
 有限個の対象をある順序で並べた時、これ
はそれらの順列 (permutation) と呼ばれる。
 順列や組み合わせで扱う対象は、一般に
元 (element)と呼ばれる。
 とりわけ、相異なる n 個の元から r 個取
り出して並べた時の総数を nPr と表記す
るとすれば、
n!
n pr  n( n  1)  ( n  r  1) 
(n  r )!
順列・組み合わせと確率-1
順列とは(2)
 ここで、1 から n までの n 個の自然数の積は、n の
階乗
(n factorial) と呼ばれ、n! と表記される。すなわち、
n! n  (n  1)  3  2 1
なお、0!=1と定義される。
また、nPr の定義から、nPn 、すなわち相異なる n
個の対象を並べるすべての順列の総数は、n! である。
順列・組み合わせと確率-1
組合とは(1)
 有限個の元の中から、幾つか (r 個)を取り出す取り
出し方の総数は、組合(くみあわせ)と呼ばれ、
nCr と表記される。
 このようにして取り出された r 個を並べて順列を作
ると、その総数は、定義より nPr に等しいので、
nCr・r! =nPr、すなわち、
n!
n Cr 
(n  r )!r!
演習(5)
 (1)3つのアルファベット a, b, c を並べる時、順
列の総数は幾つになるか、またそれらをすべて書き
下せ。
 (2)4つの数字 1、2、3、4 の中から3つを取
り出す組合の総数は幾つになるか。また、それらを
すべて書き下せ。
 (3)テストの信頼性の下限値を与えるといわれる、
教育や心理の分野でよく利用されるクロンバックの
アルファ係数では、2k個の下位テストから成るテ
ストを、それぞれがk個から成る2つのテストに折
半し、2対のテスト得点間の相関係数の平均を考え
る。ここで、このような2対のテストは全部で何通
順列・組み合わせと確率-1
確率とは(1)
 これまで、我々は観測により得られたデータをも
とに、データの特徴を表す幾つかの指標、すなわ
ち、統計量について考えてきた。
 ここでは、個々のデータが観測される可能性(確
からしさ、或いは確率)についての理論について
簡単に紹介し、確率分布とその期待値・分散、母
集団と標本、推定の問題などの以降の議論に備え
る。
順列・組み合わせと確率-1
確率とは(2)
 歴史的には、数学的な確率論の起こりは、17世
紀のパスカル (Pascal, 1623-1662) に遡ると言われ
ている(例えば、丸山、1956)。
 これまで多くの研究者が確率について論じてきて
いるが、それらのうち代表的なものは、19世紀
のラプラス(Laplace, P. S., 1812) による経験的確率
論と、20世紀のコルモゴロフ (Kolmogorov, A.
N., 1933) による公理論的確率論である(例えば、
東洋経済、統計学辞典, 1989)。
 ここでは、後者の立場での確率の定義についての
み述べる。
順列・組み合わせと確率-1
確率とは(3)
 第1日目に紹介したデータやそれによる統計量は、
何らかの仮説をもとに、われわれが実験や調査等に
より観測して得たものであるが、これらの観測や実
験は、統計学では試行 (trial) と呼ばれ、試行により
得られた種々の結果の集合は、事象 (event) と呼ば
れる。
 確率の定義に先立ち、つぎに事象に関する幾つかの
概念の定義をおこなっておく。それらは、和事象
(sum event)、積事象 (product event)、全事象 (whole
event)、余事象 (complementary event)、排反事象
(exclusive events) である。
順列・組み合わせと確率-1
確率とは(4)
 和事象ー A か B のいずれかが起こる事
象:
 積事象ー A と B が共に起こる事象:
 全事象ー 試行のすべての結果を含む事
象:
 空事象ー試行の結果を全く含まない事
A B
A B


A
c
象:
A  B    余事象ー A をある事象とするとき、A が なる Aと B
起こらない事象:
 排反事象ー 事象 A と B の積事象が空事
象であるような事象:
順列・組み合わせと確率-1
確率とは(5)
 ある試行に対する任意の事象 A に対して、事象 A の
関数 P(A) が対応し、以下の条件を満足する時、P
(A) を事象 A の確率という:
(1) 0  P ( A)  1
( 2) A    P ()  1
A    P ( )  0
(3) A1 , A2 ,  が排反事象系なら ば


i 1
i 1
P (  Ai )   p ( Ai )
順列・組み合わせと確率-1
確率とは(6)
 例1
一般に X を試行の結果を表す値とし、XЄA を試
行の結果「事象 A が起こる」ということを表すも
のとする。この時、例えば、サイコロをふる実験
における1の目の出る確率は、つぎのように書け
る:
1
P(1)  P({ X 1}) 
6
順列・組み合わせと確率-1
確率とは(7)
 より一般的には、
1
P( X  x)  P({ X  x})  , x  1,2,,6
6
サイコロの例に限らず、X=x となる確率を一般的に
p(x) と書けば、x がサイコロの場合のように飛び飛び
の値を取るような場合、P(X=x) は次のように書ける:
P({X  x})  p( x), x  x1, x2 ,, xn ,
順列・組み合わせと確率-1
確率とは(8)
 うえのような関数 p(x) は、一般に確率関数
(probability function) と呼ばれる。
 p(x) は、定義内のxのそれぞれに対応する確率の分
布の状況を指し示すので、確率分布 (probability
distri- bution) の1つとも言える。
 次の図は、サイコロの目の出る確率に関する確率分
布を図示したものである。横軸は、サイコロの目を
示し、飛びとびの値しか取らないことに注意が必要
である。
順列・組み合わせと確率-1
確率とは(9)
この例のような確
率分布は、第1日目
に紹介した心理検査
等の観測値の度数
分布とは、基本的に
異なり、あくまでも理
論的な分布である点
に注意せよ。
確
率
1
6
●
●
●
●
●
●
1
2
3
4
5
6
x
確率変数の期待値と分散-1
確率変数の期待値とは(1)
 第1日目には、N 個のデータを手にしたとき、デー
タの分布の特徴を平均や分散等の指標(統計量)で
もって、簡潔に表現することを考えた。
 これに対して、理論分布としての確率分布の場合に
も、 分布の特徴を平均や分散等の言葉で表現でき
るのであろうか。
 答えは、Yes である。ただし、それらの定義には少
し異なる部分が生じる。まず、うえのような確率関
数の場合について述べると、つぎのようになる:
確率変数の期待値と分散-1
確率変数の期待値とは(2)
 確率関数、すなわち確率変数がサイコロの目のよ
うに飛び飛びの値を取る場合(離散的変数の場合
)、確率分布の平均は、期待値 (expectation) と呼
ばれる。
 離散的変数の場合の期待値は、つぎのように定義
される:
期待値
確率変数
I
確率関数
E ( X )   xi  p( xi )
i 1
離散変数の期待値の例
 サイコロの目(1から6)の期待値
サイコロは、どの目の出る確率も 1/6 である
ので、うえの定義から、その期待値は、
1
1
1
E ( X )  1  2     6  ,
6
6
6
 3.5
確率変数の期待値と分散-1
確率変数の期待値とは(3)
 確率変数が、サイコロの目の場合のように飛
び飛びの値を取らず、連続的な値を取る場合
もある。
 つまり、連続変数の場合、離散変数の場合の
確率関数にあたるものは(確率)密度関数
(density function) と呼ばれる。
 その代表的な例が、正規分布 (normal distribution) である。正規分布の密度関数を f(x)
と書けば、f(x) はつぎのように表される:
確率変数の期待値と分散-1
確率変数の期待値とは(4)
 平均μ、分散 σ2 の正規分布の密度関数は
f ( x) 
1
e
2 

1
2
2
(
x


)
2
平均μ、分散σ2 の
正規分布の分布の特徴
2.15%
34.13 %
34.13%
13.59 %
μ-2σ,
μ-σ,
2.15%
13.59%
μ,
μ+ σ,
μ+2σ
約70%
約95%
確率変数の期待値と分散-1
確率変数の期待値とは(5)
 連続変数の場合の確率変数の期待値は、つぎ
のように定義される:
期待値
確率変数

密度関数
E ( X )   x  f ( x)dx
確率変数の期待値と分散-1
確率変数の期待値とは(6)
 期待値は、定義より
1
E ( X )  x 
e
2 

この積分を行うと、


1
2
2
(
x


)
2
dx