1章データの整理

２章確率
2.1 標本空間と確率
■確率 P
ある結果が必ず起きる … 確率 P = 1
決して起きない … 確率 P = 0
起きるか起きないか不確実 … 0 ＜確率 P ＜ 1
例：天気予報「明日雨が降る確率 30%」 P=0.3
意味：「明日雨が降る」という予想
それが当たる確率 P = 0.3
客観的側面（頻度論）
同条件で何度も繰り返した時、その予想が当たって
いる割合。（実際には同一条件の繰り返しは困難）
主観的側面
その予報の信頼度
■根元事象と標本空間
試行(Trial)
ある 1 回または 1 組の実験や現象。
例： 2 つのサイコロを転がして出た目
根元事象(Original Event)
ei, P(ei) (i = 1, 2, …)
起き得る結果 ei,
例：２つのサイコロの目の対 (6, 1) など
起きる確率 P(ei) ( 0 ≦ P(ei) ≦ 1 )
例：P{ (1, 1) } = 1/36
（確率値は未知でも良い）
標本空間(Sample Space)
Ω = { e1 , e2, … } (テキストは Ω を S と表記)
・すべての根元事象の集合。
例：2つのサイコロ … 6×6 = 36個の根元事象
2つのサイコロの目の標本空間
・複数の根元事象が
( 1, 6 ) ( 2, 6 ) ( 3, 6 ) ( 4, 6 ) ( 5, 6 ) ( 6, 6 )
同時に起きることは無い。 ( 1, 5 ) ( 2, 5 ) ( 3, 5 ) ( 4, 5 ) ( 5, 5 ) ( 6, 5 )
( 1, 4 ) ( 2, 4 ) ( 3, 4 ) ( 4, 4 ) ( 5, 4 ) ( 6, 4 )
ei ∩ ej = φ （i ≠ j）
( 1, 3 ) ( 2, 3 ) ( 3, 3 ) ( 4, 3 ) ( 5, 3 ) ( 6, 3 )
φ は空集合
・何れか１つの根元事象は ( 1, 2 ) ( 2, 2 ) ( 3, 2 ) ( 4, 2 ) ( 5, 2 ) ( 6, 2 )
( 1, 1 ) ( 2, 1 ) ( 3, 1 ) ( 4, 1 ) ( 5, 1 ) ( 6, 1 )
必ず起きる。
事象(Event)
E = { e1 (E) , e2 (E), … } ⊂ Ω
• 標本空間 Ω の任意の部分集合。
例：目の和が奇数 E = { (1, 2), (2,1), …, (5, 6) }
2つのサイコロの目の標本空間
18個の根元事象
( 1, 6 ) ( 2, 6 ) ( 3, 6 ) ( 4, 6 ) ( 5, 6 ) ( 6, 6 )
• ある事象 E の起きる
( 1, 5 ) ( 2, 5 ) ( 3, 5 ) ( 4, 5 ) ( 5, 5 ) ( 6, 5 )
確率 P(E) =
( 1, 4 ) ( 2, 4 ) ( 3, 4 ) ( 4, 4 ) ( 5, 4 ) ( 6, 4 )
事象 E を構成する
( 1, 3 ) ( 2, 3 ) ( 3, 3 ) ( 4, 3 ) ( 5, 3 ) ( 6, 3 )
各根元事象の確率の和。 ( 1, 2 ) ( 2, 2 ) ( 3, 2 ) ( 4, 2 ) ( 5, 2 ) ( 6, 2 )
P(E) = P(e1 (E)) + P(e2 (E)) + … ( 1, 1 ) ( 2, 1 ) ( 3, 1 ) ( 4, 1 ) ( 5, 1 ) ( 6, 1 )
例： 1/36 + … + 1/36 = 18/36 = 1/2
■確率の公理（コルモゴロフ）
[公理1] 任意の事象 E⊂Ω について
0 ≦ P(E) ≦ 1
（万が一、百万人に1人 → 値の標準化）
[公理2] P(Ω) = 1 （必ず一つの根元事象が起きること＝
書き忘れている根元事象が無いこと）
[公理3] 互いに共通部分を持たない事象 E1, E2,
… (E i∩E j =φ, i ≠ j) について
その何れかが起きる確率
P(E1∪E2∪…) = P(E1) + P(E2) + …
■確率の性質
余事象(Complement)：ある事象 A の余集合(補
集合)を Ac とする。Ac を A の余事象という。
A ∩ Ac = φ かつ A∪Ac = Ω
[公理3]より、P(A∪Ac) = P(A) + P(Ac)
[公理2]より、P(A∪Ac) = P(Ω) = 1
よって
P(Ac) = 1 – P(A)
あるいは、余事象を not で表すと
P(not A) = 1 – P(A)
2つのサイコロの目の標本空間
( 1, 6 ) ( 2, 6 ) ( 3, 6 ) ( 4, 6 ) ( 5, 6 ) ( 6, 6 )
( 1, 5 ) ( 2, 5 ) ( 3, 5 ) ( 4, 5 ) ( 5, 5 ) ( 6, 5 )
( 1, 4 ) ( 2, 4 ) ( 3, 4 ) ( 4, 4 ) ( 5, 4 ) ( 6, 4 )
( 1, 3 ) ( 2, 3 ) ( 3, 3 ) ( 4, 3 ) ( 5, 3 ) ( 6, 3 )
( 1, 2 ) ( 2, 2 ) ( 3, 2 ) ( 4, 2 ) ( 5, 2 ) ( 6, 2 )
( 1, 1 ) ( 2, 1 ) ( 3, 1 ) ( 4, 1 ) ( 5, 1 ) ( 6, 1 )
（一般の）加法定理：
事象 A, B ⊂ Ω について、B の A による二分割は
B = B ∩ Ω = B ∩ (A∪Ac) = (B∩A)∪(B∩Ac)
[公理3]より
P(B) = P(B∩A) + P(B∩Ac)
A
よって
P(A∪B) = P( A∪(B∩Ac) )
= P(A) + P( B∩Ac )
= P(A) + [ P(B) - P(B∩A) ]
つまり、
P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)
B∩A
和集合 or 、積集合 and
P(A or B) = P(A) + P(B) - P(A and B)
Ω
B
B∩Ac
例： 2つのサイコロがあり、各目が 1 になることを
事象 A, B とする。
A 2つのサイコロの目の標本空間
( 1, 6 ) ( 2, 6 ) ( 3, 6 ) ( 4, 6 ) ( 5, 6 ) ( 6, 6 )
A = { (1, j) : j=1,…, 6 }
( 1, 5 ) ( 2, 5 ) ( 3, 5 ) ( 4, 5 ) ( 5, 5 ) ( 6, 5 )
B = { (i, 1) : i=1,…, 6 }
( 1, 4 ) ( 2, 4 ) ( 3, 4 ) ( 4, 4 ) ( 5, 4 ) ( 6, 4 )
理想的なサイコロ
( 1, 3 ) ( 2, 3 ) ( 3, 3 ) ( 4, 3 ) ( 5, 3 ) ( 6, 3 )
（根元事象の起きる確率がすべて
( 1, 2 ) ( 2, 2 ) ( 3, 2 ) ( 4, 2 ) ( 5, 2 ) ( 6, 2 )
同じ）なら
( 1, 1 ) ( 2, 1 ) ( 3, 1 ) ( 4, 1 ) ( 5, 1 ) ( 6, 1 )
P(A or B)
= P(A) + P(B) – P( A and B )
= 6/36 + 6/36 – 1/36 = 11/36
B
互いに排反(mutually exclusive)
事象 A, B ⊂ Ω が、共通する根元事象を持たな
い時 ( A∩B = φ )、
A, B は「互いに排反」という。
「一方が起きれば(同時に)他方は起きない」こと。
例：２つのサイコロの目の和 A:偶数, B:奇数
また、空事象 φ の起きる確率は、
Ωc = φ および余事象の確率より
P(φ) = P(Ωc) = 1 – P(Ω) = 1 – 1 = 0。
（互いに排反な事象の）加法定理：
P(A∪B) = P(A) + P(B)
または
P(A or B) = P(A) + P(B)
例：(理想的なサイコロ)
事象 A = 目の差が 2 以上
事象 B = どちらの目も 5 以上。
事象 A, B は「互いに排反」。
よって、
P(A or B) = P(A) + P(B)
= 20/36 + 4/36 = 24/36 = 2/3
2つのサイコロの目の標本空間
( 1, 6 ) ( 2, 6 ) ( 3, 6 ) ( 4, 6 ) ( 5, 6 ) ( 6, 6 )
( 1, 5 ) ( 2, 5 ) ( 3, 5 ) ( 4, 5 ) ( 5, 5 ) ( 6, 5 )
( 1, 4 ) ( 2, 4 ) ( 3, 4 ) ( 4, 4 ) ( 5, 4 ) ( 6, 4 )
( 1, 3 ) ( 2, 3 ) ( 3, 3 ) ( 4, 3 ) ( 5, 3 ) ( 6, 3 )
( 1, 2 ) ( 2, 2 ) ( 3, 2 ) ( 4, 2 ) ( 5, 2 ) ( 6, 2 )
( 1, 1 ) ( 2, 1 ) ( 3, 1 ) ( 4, 1 ) ( 5, 1 ) ( 6, 1 )

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