保険数理学特論ⅢA リスク理論１（第４回） リスク選好 保険制度を支える原理と法則 大阪大学大学院 金融保険教育研究センター ２０１５年５月２５日 大塚忠義 1 講義資料 http://tyotsuka.cocolog-nifty.com/blog/ から各自事前にダウンロードしてください 2 リスク回避 人間は目の前に損失の可能性があるときは、 利益の現象よりリスクの回避を優先する リスク中立な価格、給付反対給付の原則に 基づく価格より高い費用を支払ってもリスク の回避を優先する この差額をリスクプレミアムという 問題はどの程度までリスクプレミアムを支払 うことを許容するか 3 純保険料 収支相等の原則 等号が成立することを仮定して次のように 表わすことができる N×P=m×Z 給付反対給付均等の原則 給付と反対給付は等価であるべき、つま り保険金支払総額と保険料収入総額は同 値であるべき P=Z×m/n= Z×w w: 事故発生確率 営業保険料 営業保険料＝純保険料＋付加保険料 ・純保険料：保障の対価として必要な保 険料 ・営業保険料：契約者が実際に支払う保 険料 ・付加保険料：保険業務の維持・管理に 充てる保険料：事業費相当分とされるが それだけとは限らない。付加は上乗せと いう意味合い 5 リスク回避に関する質問 自分は一定の収入（月８０万円）があり、 配偶者と２人の就学児童がいる 豊中の3LDK（５千万円）のマンションを 購入。 住宅ローンを含め、月の平均経 費は６０万円 なお、家計の管理者はあなたとする。 次の保険のうちどれに加入するか 6 リスク回避に関する質問 １．火災保険 ２．家財保険 ３．自動車保険（任意保険） ４．自分の生命保険 ５．自分の医療保険 ６．配偶者の生命保険 ７．配偶者の医療保険 ８．こども保険 ９．自分の個人年金 10.配偶者の個人年金 7 リスク回避に関する質問 自分が加入するとした保険それぞれにつ いて、月の保険料をいくらまでなら支払う か？ 8 リスク回避に関する質問 毎月の収入と支出の差額である２０万の 使い方を振り分けよ １．貯金 ２．損害保険 ３．生命保険 ４．自分の小遣い リスクの移転にどの程度のコストを負担 することができるか 9 リスクの嗜好に関する質問(1) コインを投げて表なら100円貰い、裏な ら100円払う コインを投げて表なら200円貰い、裏な ら100円払う 5億円を狙って宝くじを3千円買う（ただし 期待払戻率は60％） 1千万円相当の家を持っている。火事で 全焼する確率は1/1万 2千円払って火災保険に加入する 10 リスクの嗜好に関する質問(2) １．預金：100万円預けて満期150万円 ２．株式：100万円の元手で50％の確率 で成功 ２-１．成功したら200万円失敗したら100 万円 ２-２．成功したら300万円失敗したら0 どれを選びますか？ 11 リスクの嗜好に関する質問(3) １．預金：100万円預けて満期150万円 ２．株式：100万円の元手で10％の確率 で成功 成功したら1500万円失敗したら0 どれを選びますか？ 12 リスクの嗜好に関する質問(4) １．預金：100万円預けて満期150万円 ２．株式：100万円の元手で10％の確率 で成功 成功したら2000万円失敗したら0 どれを選びますか？ 13 プロスペクト理論 質問1: 選択肢A:100万円が無条件で手に入る 選択肢B:コインを投げ、表が出たら200万円 が手に入るが、裏が出たら何も手に入らな い 14 プロスペクト理論 質問2: あなたは200万円の負債を抱えているものと する 選択肢A:無条件で負債が100万円減額され、 負債総額が100万円となる 選択肢B:コインを投げ、表が出たら支払いが 全額免除されるが、裏が出たら負債総額は 変わらない 15 プロスペクト理論 質問3: あなたは今後１年間に１00万円の損失を抱 える恐れがある（発生確率は不明） 選択肢A:何もしない 選択肢B:大学に１０万円支払えば、損失が 発生したときに大学がその債務を弁済してく れる 16 アニマルスピリット 一般的には、質問１では堅実性の高い「選択肢A」 を選ぶ人の方が圧倒的に多い 質問2も両者の期待値は100万円と同額である。し かし、質問1で「選択肢A」を選んだほぼすべての 人が、質問2ではギャンブル性の高い「選択肢B」 を選ぶことが立証された この一連の結果が意味することは、人間は目の 前に利益があると、利益が手に入らないというリ スクの回避を優先し、損失を目の前にすると、損 失そのものを回避しようとする傾向があるというこ とである。 17 行動経済学 金融工学に心理学の視点をいれて経済行動を 説明する アニマルスピリット：リスクに対して、人は原始の 生存本能に基づき行動する傾向がある つまり、人は金融工学理論にあるように合理的 な投資判断をするわけではなく、損失を嫌がる 本能が合理的な行動にゆがみを与える カーネマン：2002年、『プロスペクト理論』により ノーベル経済学賞を受賞 18 期待効用原理 不確実性を持つ対象の選択では、期待 値の大小ではなく、「効用」の期待値の大 小によって選好が決まる 保険購入の際の判断要因は、十分な情 報によって既知となる純保険料の大小で はなく保険購入によって得ることができる 効用の大小によって選好が決まる 19 期待効用関数 E(u(x))：効用の期待値 効用関数u(x)＞０ 一般に、E(u(x))＞E(X) 顧客が選考し、購入の判断を行う価格 営業保険料＝ E(u(x))＝E(X)＋L 20 金融工学 リスク、ボラティリティ、相関の考えをもとに 最適の株式投資を行うための理論として 始まる 株が博打から数学的理論へ ハリー・マーコビッツ： 1990年、『ポート フォリオ理論』によりノーベル経済学賞を受 賞 オプション・プライシング ⇒証券化商品へと発展 21 休憩 休憩 22 保険技術的条件 「収支相当の原則」「大数の法則」 を成立させるための条件を備えて いること •対象リスクの測定値に関する信頼性 •リスクが保険の対象とできる性格を有 している 保険制度を支える原則と法則 収支相当の原則 損失を被るかもしれない n人から保険料P を集め、 n人のうち実際に損失を被ったm 人に対してその資金をすべて保険金Zとし て過不足なく支払うことである 大数の法則 偶然発生の事象は観測数が多くなるほど 実際の結果が予想の結果に近づく 収支相当の原則(1) 等号が成立することを仮定して次のように 表わすことができる N×P=m×Z 給付反対給付均等の原則 給付と反対給付は等価であるべき、つま り保険金支払総額と保険料収入総額は同 値であるべき P=Z×m/n= Z×w w: 事故発生確率 収支相当の原則(2) この式からわかること -支払うべき純保険料は事故発生確率の 大きさに依存する。 ‐保険者にプールされた資金の総額は将 来の保険金支払合計額の予想と等しくな るべきである 収支相当の原則(3) •２００万円の新車１０００台の購入者が 車両保険に加入 •事故があったら必ず全壊すると仮定 •統計調査より事故確率は３/1000 P=Z×w=200万×3/1000=6,000円 しかし、実際にはある年は４台の事故別 の年は１台も事故が起こらないかもしれ ない。 大数の法則(1) 大数の法則：観測平均 と真の平均（確 率）ｐの関係を示したもの lim P( X p c) 0 n 観測平均と真の平均の乖離が任意の常 数ｃより大きくなる確率は、観測数が無限 大になれば、ゼロに収束する 一般的には真の平均（母平均）はμで表 すが、確率を示すためpとしている 28 大数の法則(2) 偶然発生の事象は観測数が多くなるほど 実際の結果が真の結果に近づく （実際の結果÷観測数）は発生確率に近 づく 大標本で観測された平均は母集団の真の 平均（母平均）とみなしてよい プールは大きい方がよい 未知の母平均を知るためにはどの程度の 標本数、モデルを作成すればよいか？ 29 大数の法則(3) 正確なコイントスイング（確率は0.5） すべて表の確率は １回：0.5 １０回：0.00098 0.5の10乗 50回: 0.00000000000000089 0.5の50乗 大数の法則(4) 正確なコイントス（確率は0.5） ちょうど半分表が出る確率は １０回投げて表が５回：0.25 100回投げて表が50回:0.080,49回： 0.079,48回:0.073,47回:0.067・・ 47-53回表が出る確率:0.518 中心極限定理(1) 大数の法則より一般化された理論 近代統計学の基盤をなす定理 母集団分布が何であれ、母平均、母分散 が存在すれば Sn X1 X n の確率 分布はnが十分に大きいとき、概ね正規 分布に従う 二項分布の場合 Sn : B(n, p) : N (np, npq) pq X : N ( p, ) n 中心極限定理(2) 厳密に表すとnを無限大にすると次のよう になる b S n n 1 lim P(a b) e a n n 2 x2 2 dx 正規分布 34 バリューアットリスク(VaR) 35 実務に用いる死亡率 標準生命表2007 標準責任準備金計算のための死亡率 （大蔵省告示第４８号） 死亡保険用 年金開始後用 第三分野（医療保険用） 36
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