『ミクロ経済分析入門』 意思決定の経済学（経済心理学）(2) 不確実性編 参考文献： 依田高典『不確実性と意思決定の経済学』日本評論社 1997年 第2章「不確実性の意思決定理論」 京都大学大学院経済学研究科 依田高典 助教授 1 1 不確実性の意思決定理論：50年前 • ナイトの危険と不確実性の峻別： 確率理論の適用可能性をめぐって • アローの1951年展望論文： • ノイマン・モルゲンシュテルン期待効用理論か • シャックル不確実性理論か • 期待効用理論が有望 • アローの予言通り、期待効用理論が普及： • 期待効用理論はゲーム理論の基礎概念として大成功。 • しかし現在、期待効用理論は、確率加法性と加重平均(基 数主義)という二つの観点から、現実妥当性が揺らいでいる。 • 奇妙なことに、昨今の期待効用理論の批判的検討は、まさ にシャックルの理論の先駆性を証左。 2 2 聖ペテルスブルグの逆説 コインをはじき、裏表を見る繰り返しゲ−ムを考え、ｎ回目に表が 出た時に２ｎドルの賞金が貰えるものとする。表が出続ける限りゲ −ムを続行し、より高い賞金に挑戦してもよいが、裏が出ればその 時点で賞金は没収され、ゲームは終了となる。 4 1 H2 ( 1 ) 2 H2 2 ý ( 1 ) n H2 n ý 3 ( 1 ) n H2 n n 1 2 2 2 2 しかし我々はこの賭に∞の価値を見出さない。ベルヌーイは効用 関数を仮定し、この問題を解決。 その期待値は∞： 4 1 HU(2) ( 1 ) 2 HU(2 2 ) ý ( 1 ) n HU(2 n ) ý 3 ( 1 ) n HU(2 n ) n 1 2 2 2 2 例えばU＝logならば、このゲームの期待効用はlog4にすぎない。 このベルヌーイの解法こそ危険回避型効用関数と呼ばれるもの。 3 3 期待効用関数 • 期待効用関数定理： 一連の公理体系が満足されるもとで次の等値命題が成立する。 a1 (≧)a2 ⇔ EU(a1)＝ΣpjU(x1j)≧EU(a2)＝ΣpjU(x2j) 即ち、行為a1がa2よりも選好されるか少なくとも無差別であるとき そのときに限り、a1の期待効用はa2の期待効用以上である。 • 独立性公理： 任意の三つの確率分布P、P*とP**に関して、任意の実数λ∈(0,1]に 関して、P*(≧)P⇔λP*＋(1−λ)P**(≧)λP＋(1−λ)P**という等値 性が成立する。 もしも確率変数P*がPよりも選好されるか少なくとも無差別であるな らば、確率λで表、確率(1−λ)で裏が出る２つのコインを考え、一 方のコインは表が出ればP*、裏が出ればP**、他方のコインは表が出 ればP、裏が出ればP**とした場合、前者のコインが後者のコインよ りも選好されるか少なくとも無差別でなければならない。 独立性公理は、実数値関数が確率に関して線形（加重平均）である こと(U(p1,…,pn)＝ΣpiU(xi)) を保証する。 4 4 危険回避とリスクプレミアム 確率変数P：P＝(利得x1,確率1−p；x2,p)、x1＞x2 確率変数の数学的期待値の効用Ｕ(Ｅ(Ｐ))と期待効用ＥＵ(Ｐ)： U(E(P))＝U((1−p)x1＋px2) EU(P)＝(1−p)U(x1)＋pU(x2) 危険愛好的 ⇔ U(E(P))＜EU(P) 危険愛好的な選好 ⇔ 凸の効用関数 ρという定数を考え、 U(E(P)−ρ)＝EU(P) とする。(E(P)−ρ)を確率変数Pの「確実性等価」と呼ぶ。ρは「リスク・プレミア ム」と呼ばれる。 効用曲線の曲率が大きいほどリスク・プレミアムの絶対値は大きくなるので、 効用曲線の曲率を危険回避や危険愛好の強さの測度となる。 5 å¯óp U(x1 ) U(E(P )) EU(P) U(x2 ) Éœ Çò2 E(P ) Çò1 óòìæ ê}ÇR-ÇQÅFäÝë“ å¯ópDzÉäÉXÉNÅEÉvÉåÉ~ÉAÉÄ 6 5 保険の経済理論 保険需要者である契約者の期待効用： (Ｕ’＞0、Ｕ”＜0、初期所得Ｘ,事故損失額Ｌは正の定数。) 状態１(無事故)；確率１−ｐ、所得Ｘ 状態２(事故) ；確率ｐ 、所得Ｘ−Ｌ ＥＵ(Ｐ)＝(１−ｐ)Ｕ(Ｘ)＋ｐＵ(Ｘ−Ｌ) 保険者の提供する保険契約Ｉ＝(保険料Ａ,保険金額Ｂ)として、保険契約者の保険契約後の所得(ｘ１,ｘ 2)、その期待効用ＥＵ(Ｐ,Ｉ)並びにｘ１のｘ2に対する限界代替率ＭＲＳ12： 状態１(無事故)；確率１−ｐ、所得ｘ１ ＝Ｘ−Ａ 状態２(事故) ；確率ｐ 、所得ｘ２＝Ｘ−Ｌ−Ａ＋Ｂ ＥＵ(Ｐ,Ｉ)＝(１−ｐ)Ｕ(ｘ１)＋ｐＵ(ｘ2) ＭＲＳ12 ＝((１−ｐ)Ｕ’(ｘ１))/ｐＵ’(ｘ2) 保険契約者の期待効用極大化の一次条件： ＭＲＳ12＝(Ｂ−Ａ)/Ａ 即ち、限界代替率と純保険金額の保険料に対する比率が均等化。賭率として公平な保険契約（保険 加入前後の期待所得が等しい契約）を考える。 Ａ/Ｂ＝ｐ (3.10) 即ち、保険料の保険金に対する比率(保険価格)が事故確率に均等化する。 ＭＲＳ12 ＝(１−ｐ)/ｐ ⇔ Ｕ’(ｘ１)＝Ｕ’(ｘ2) となる。以上から、保険契約者の最適保険は、 ｘ１＝ｘ2 ⇔ Ｌ＝Ｂ 即ち 、損害額と保険金額が均等化する「完全保険」となる。 7 Çò2 Çò1 ÅÅÇò 2 Çh0 Çh1 Çx0 Çò1 ê}ÇR-ÇRÅFï€åØÇÃåoçœóùò_(Çh) 8 6 シャックル理論の独自性 シャックル：不確実性を生涯のテーマとして探求し続けたケインジ アン経済学者。学界からは敬されつつも遠ざけられた。その理論は 非常に難解なので、ここでは取り上げない。 シャックル理論と期待効用理論の相違点： • 第一に、期待効用理論は加法性公理(あるいは独立性公理)を前提 とする理論であるが、シャックル理論は加法性公理(あるいは独立性 公理)を認めない理論である。 • 第二に、期待効用理論は加重平均理論であるが、シャックル理論 は加重平均を認めない理論である。 • 従って、期待効用理論とシャックル理論は、確率加法性と加重平 均の妥当性をめぐって比較検討されなければならない。 9 7 エルスバーグの反例 ２つの壷A1とA2があり、それぞれの中に赤玉(R)と黒玉(B)が計100個入っ ている。A1は赤玉と黒玉が等確率であることが判っているが、A2は赤玉 と黒玉の確率分布がどのようなものか判っていない。 被験者は先ずA1とA2のどちらかの壷を指定し、次に赤と黒の色を指定し た上で、玉を1つ引くように求められる。もしも指定した色と玉の色が一 致すれば賞金が貰えるが、一致しなければ賞金は貰えない。 A1：(赤玉R1,確率1/2；黒玉B1,確率1/2) A2：(赤玉R2,確率？；黒玉B2,確率？) もしも「論拠不十分の原理」が適用されるならば、いずれの壷といずれ の色それぞれ無差別なはず。しかしA1(＞)A2という選好が観察される。 主観的確率をP(･)として解釈すれば、P(R1)＝P(B1)、P(R2)＝P(B2)、 P(R1)＞P(R2)、P(B1)＞P(B2)、P(R1ＵB1)＝P(R2ＵB2)となる。 ここで、P(R2)＜P(R1)＝1/2、P(B2)＜P(B1)＝1/2なので、P(R2)＋P(B2) ＜P(R2ＵB2)となる。即ち、主観確率の確率加法性公理が破綻する。 10 8 アレの反例 択一問題１ Ａ１：(賞金＄100,確率1) Ａ２：(賞金＄500,確率0.1;賞金＄100,確率0.89;賞金＄0,確率0.01) 択一問題２ Ｂ１：(賞金＄100,確率0.11;賞金＄0,確率0.89) Ｂ２：(賞金＄500,確率0.1;賞金＄0,確率0.9) この択一問題に対して、意思決定者はＡ１(＞)Ａ２かつＢ１(＜)Ｂ２と いう選好を持つことが観察される。 この選択は、 (X, P; Z, 1-P)(＞)(Y, P; Z, 1-P) ⇔ (X, P; W, 1-P)(＞)(Y, P; W, 1-P) を要請する独立性公理に関する体系的破綻を意味する。 11 1 0/ 11 1 0/ 11 5 00 5 00 Ç`1 Ça1 0 .1 1 Ç`2 0 0 .1 1 1 /1 1 Ça2 0 1 /1 1 0 .8 9 0 .8 9 1 00 1 00 1 00 0 ÉAÉåÇÃîžó·Ç²ãAåãéÂã` ê}ÇR-ÇUÇÅ ê}ÇR-ÇUÇÇ 12 9 期待効用理論の一般化 (1) 主観的確率理論 典型例ΣＳ(ｐ)ｘ： 利得の線形性を保持し、確率の線形性を緩和。 (2) プロスペクト理論 典型例ΣＳ(ｐ)Ｕ(ｘ)： 確率と利得両方の線形性を緩和。 (3) リグレット理論 典型例ΣｐＱ(Ｕ(ｘij)−Ｕ(ｘ-ij))： 実現しなかった利得の影響を考慮。 (4) 相互依存理論 典型例ΣｐＵ(ｘ,ｐ) or ΣＳ(ｐ,ｘ)Ｕ(ｘ)： 結果と確率の相互依存性を考慮。 (5) マックス・ミニ期待効用理論 典型例MINｐ∈Ｐ[ΣｐＵ(ｘ)]： 期待効用基準と辞書式順序基準を折衷化。 13 10 プロスペクト理論(1) トベルスキ・カーネマンの画期的業績 (1) 編集過程： ａ 類型化(coding)：参照点(reference point)で利得を正領域と負領域 に分類 ｂ 結合化(combination)：等利得の確率和算 ｃ 分離化(segregation)：確実な利得部分と危険な利得部分との分離 ｄ 切捨化(cancellation)：通常の独立性公理 ｅ 単純化(simplication)：小さい差異の無視 (2) ａ ｂ ｃ ｄ 評価過程： Ｓ(ｐ)；意思決定加重値(decision weight) 意思決定加重値には次のような特質がある。 単位和を満たさない(Ｓ(ｐ)＋Ｓ(１−ｐ)≦１) 低確率は過大評価 非比例性(Ｓ(ｐｑ)/Ｓ(ｐ)≦Ｓ(ｐｑｒ)/Ｓ(ｐｒ)) 末端近くでの非連続性 14 10 プロスペクト理論(2) Ｖ(ｘ)；利得の主観的価値 ケ−ス１；ｐ＋ｑ＜１あるいはｘ≦０≦ｙあるいはｘ≧０≧ｙの場合、 Ｖ(利得x,確率ｐ;利得y,確率q)＝Ｓ(ｐ)Ｖ(ｘ)＋Ｓ(ｑ)Ｖ(ｙ) ケ−ス２；ｐ＋ｑ＝１かつ、 ０≦ｙ≦ｘ あるいは０≧ｙ≧ｘの場合、 Ｖ(利得x,確率ｐ;利得y,確率q)＝Ｖ(ｙ)＋Ｓ(ｐ)(Ｖ(ｘ)−Ｖ(ｙ)) (ケ−ス１と２が一致するのはＳ(ｐ)＋Ｓ(１−ｐ)＝１の時だけ。) 利得の主観的価値には次のような特質がある。 ａ 参照点からの乖離によって定義 ｂ 利得における凹、損失における凸 ｃ 利得よりも損失の方が勾配が急 15 Çr Çu 1 Çò 0 0 Ço 1 ÉvÉçÉXÉyÉNÉgóùò_ ê}ÇR-ÇVÇÅ ê}ÇR-ÇVÇÇ 16
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