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統計基礎（第９回）
推定と検定
早稲田大学大学院商学研究科
２０１５年６月１０日
大塚忠義
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講義資料
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Agenda
第９回推計と検定
• 点推定
• 区間推定
• 検定
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点推定(1)
母平均、母分散をさだめること
母集団から抽出した標本をもとに、母集団
の分布の母数を定める
ピンポイントで母数を定める（当然に一定
の誤差を許容する）
母集団の分布関数がわかっても母数がわ
からないと使えない
⇔未知の母数を標本から定める
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点推定(2)
母平均：
推定量：ˆ
母分散：
ˆ ( X 1 , X 2 , , X n )
2
2
ˆ
推定量：
2
ˆ
 ( X1, X 2 ,
, Xn)
母数と推定量ˆの間には誤差が存在する
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点推定(3)
最尤推定量：得られた標本値が現れる確
率が最も高い母数を推定値とする
不偏推定量：推定値の平均が母数と等しく
なる推定量
一致推定量：標本数を多くしたときに推定
値が母数と等しくなる推定量
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点推定(4)
標本平均は不偏推定量かつ一致推定量
1
X  ( X1  X 2  X 3   X n )
n
E( X )  
lim X  
n 
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点推定(5)
標本分散は不偏推定量かつ一致推定量
n
1
2
2
s 
(Xi  X )

n  1 i 1
n
1
2
(Xi  X )

n i 1
は一致推定量だが不偏推定量でない
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区間推定
母数が含まれる確率を保証する区間を定
める
誤差を許容して範囲で定める
P( L    U )  1  
L    U ：信頼区間
L: 下側信頼限界
U: 上側信頼限界
1-α：信頼係数 99％、95％
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仮説検定(1)
母集団について仮定された命題を標本に
基づいて検証すること
仮説のもとで期待される結果と標本を観測
した結果の違いが、偶然によって起きたも
のなのか、そもそも仮説が正しくないのか
を評価する：統計的判断の論理学
（仮説のもとで期待される結果）－（標本を
観測した結果）＜誤差？？
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仮説検定(2)
統計的仮説、仮説に対する有意性の検定
仮説：コインに歪みがない
：コインの表が出る確率は0.5が有意であ
るといえるか？
１００回コインを投げてみる
：仮説が正しければ、５０回が表
実際にやってみたら４１回表が出た
９＝５０－４１は誤差の範囲といえるか？
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仮説検定(3)
仮説検定は、統計的仮説のもとで、標本結
果が生まれる確率を算出し、その結果に
対する有意性の存在を判定する
「差が９もあったら誤差と言えない」と判断
できるのであれば、「差が９」とは誤差以外
の要因が存在する。つまり、「差が９」には
意味がある：「有意」である
B(100,1/ 2)
P( X  41)  4.43%
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仮説検定(4)
表の数が４１回以下となる確率は、4.43％
この確率は誤差の範囲か有意か
これを判断するためにはあらかじめ基準を
作っておかなければならない
この基準を有意水準(α）という
10、5、1％。。。たいてい 5または1％
有意水準5％としたら、それより低い4.43％
の発生確率である
表の数４１回以下は稀！つまり、有意！
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仮説検定(5)
仮説：コインの表が出る確率は0.5
１００回コインを投げてみる
実際にやってみたら４１回表が出た
この仮説のもとで、表が４１回以下の確率
は4.43％であるので、有意水準(α） 5％で
仮説と観測値の間には、誤差とはいえない
差異が有意に存在する
従って、仮説は「棄却」される
仮説検定により、仮説「確率0.5」は誤って
いると判断される
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帰無仮説と対立仮説(1)
仮説検定の結果に基づき主張する内容は
極めて「謙虚」である
結果で仮説が有意でないとき
仮説が正しいとは言わない：仮説は棄却で
きない⇒間違っているとはいえない
結果で仮説が有意のとき
仮説は「棄却」される：この場合は積極的
に仮説は正しくないという
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帰無仮説と対立仮説(2)
帰無仮説（ H 0 ）：もともと建てた仮説
対立仮説（ H1 ）：帰無仮説に対立する仮説
例えば H1  H 0
帰無仮説は否定されることを前提に立てる
ことが多い・・・無に帰す仮説
帰無仮説が「棄却」される：対立仮説が「採
択」される
帰無仮説が採択されるとは絶対に言わな
い
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帰無仮説と対立仮説(3)
背理法
帰無仮説のもとで、期待する結果が生じな
かったことを根拠に帰無仮説を棄却、否定
する
帰無仮説が棄却されなかったこと
≠帰無仮説が採択、支持される
≠帰無仮説が「真」であることを証明する
単に観測結果と帰無仮説の間に矛盾が生
じなかっただけのこと
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帰無仮説と対立仮説(4)
実際の検定では、否定したい方を帰無仮
説にすることが多い
例：新しい風邪薬の効果を調べる
A:風邪をひいた１００人が新しい薬を服用
B:風邪をひいた１００人が従来の薬を服用
風邪は治った日数の平均  A ,  B
帰無仮説（ H 0 ）：  A  B
対立仮説（ H1 ）：  A  Bまたは A＜B
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帰無仮説と対立仮説(5)
H 0 を棄却しない
H 0 を棄却する
が正しい
①
③
が誤り
②
④
①④は正しい
③：第１種の過誤：生産者のリスク
仮説が正しいのに棄却してしまう
規格に合格した良品を不合格にする
②：第２種の過誤：消費者のリスク
仮説が正しくないのに棄却しない
規格に合格しないはずの不良品を合格にする
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棄却域
P（採択域）+P（棄却域）＝1
予測される値（確率変数）が正規分布に従うと
仮定できると数値の算出が容易になる
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帰無仮説と対立仮説(6)
帰無仮説（ H 0 ）：
対立仮説（ H1 ）： H1  H 0
両側検定
対立仮説（）
H1＞H 0またはH1＜H 0
片側検定
例：XXの効果、
 A , B
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母平均の検定(1)
正規分布を活用する検定
：標本の数が１００以上
例：東京のラーメンの価格は５００円より高
い？
帰無仮説 H 0 ： μ＝500
対立仮説 H1 ： μ＞500
有意水準 5％で片側検定を行う
電話帳でランダムに200件のラーメン屋に
電話をかけ価格を調査した
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母平均の検定(2)
その結果：標本平均520円、
標本標準偏差160円
500
母平均
unknown
母分散
200
標本数
520
標本平均
160
標本標準偏差
標本数が100を超えているので
標本標準偏差を代用する
Z値
p値
1-p値
1.77
0.961
0.039
NORMS.DIST(1.77)
帰無仮説は棄却される。従って、東京の
ラーメンは500円より高い
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Question?
お疲れ様でした
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