2015　特選理系　数学演習a　1学期中間①　(　)組(　)番　名前(　)　１ (1)　AB=3，BC=4，CA=6 である △ABC において，4A の外角の二等分線が直線 BC と交わる点を D とする。線分 BD の長さを求めよ。 (2)　AB=4，BC=3，CA=2 である △ABC において，4A およびその外角の二等分線が直線 BC と交わる点を，それぞれ D，E とする。線分 DE の長さを求めよ。２ (1)　AB=8 ，BC=3 ，CA=6 である △ABC において，4A の外角の二等分線が直線 BC と交わる点を D とする。線分 CD の長さを求めよ。 (2)　△ABC において，BC=5，CA=3，AB=7 とする。4A およびその外角の二等分線が直線 BC と交わる点をそれぞれ D，E とするとき，線分 DE の長さを求めよ。３ (1)　図において，点 I は △ABC の内心である。4A= x，4BIC= y とするとき，y を x で表せ。 (2)　△ABC の内心を I とし，直線 AI と辺 BC の交点を D とする。AB=8，BC=7， AC=4 であるとき，AI：ID を求めよ。 (1) A (2) A x 8 I I B y B 7 C -1- D 4 C ４ △ABC の内心を I とする。 A (1)　右の図の角 x を求めよ。 50, (2)　直線 BI と辺 AC の交点を E とする。AB=8 ，BC=7 ， AC=4 であるとき，BI：IE を求めよ。 x B ５ I 40, C 終わった者用 △ABC において，AB=5 ，BC=4 ，CA=3 とし， 4A の二等分線と対辺 BC との交点を P とする。 A また，頂点 A における外角の二等分線と対辺 BC の 5 3 延長との交点を Q とする。このとき，線分 BP，PC， CQ の長さを求めよ。 B -2- 4 P C Q １ s　(1)　4　(2)　4 ２ s　(1)　9　(2)　３ s　(1)　y =90, + ４ s　(1)　x =25, (2)　15：4 ５ s　BP= 21 4 x (2)　12：7 2 5 3 ，PC= ，CQ=6 2 2 -3- １ (1)　点 D は辺 BC を AB：AC に外分するから A BD：DC=AB：AC AB：AC=1：2 であるから BD：DC=1：2 D C B よって　BD=BC=4 (2)　点 D は辺 BC を AB：AC に内分するから A BD：DC=AB：AC=2：1 ゆえに　DC= 1 % BC=1 2+1 また，点 E は辺 BC を AB：AC に外分するから B D C E BE：EC=AB：AC=2：1 ゆえに　CE=BC=3 よって　DE=DC+CE=1+3=4 ２ (1)　点 D は辺 BC を AB：AC に外分するから A BD：DC=AB：AC=8：6 =4：3 よって　4DC=3BD=30 3 +CD 1 B =9+3CD C D したがって　CD=9 (2)　点 D は辺 BC を AB：AC に内分するから A BD：DC=AB：AC=7：3 ゆえに　DC= 3 3 % BC= 7+3 2 また，点 E は辺 BC を AB：AC に外分するから B D C E BE：EC=AB：AC=7：3 ゆえに　CE= 3 15 % BC= 4 4 よって　DE=DC+CE= ３ (1)　y =180, =180, - 1 3 15 21 + = 2 4 4 1 1 8 2 4B + 2 4C9=180,- 2 04B +4C1 1 x x 180, - 4A 1 =180, -90, + =90, + 20 2 2 (2)　△ABC において，直線 AD は 4A の二等分線であるから BD：DC=AB：AC=2：1 よって　BD= A 2 14 BC= 3 3 △ABD において，直線 BI は 4B の二等分線であるから AI：ID=BA：BD=8： 14 =12：7 3 -4- I B D ４ (1)　4ICB= 4ICA=40, ，4IBA= 4IBC= x A 三角形の内角の和は 180, であるから 8 2x +50, +40,% 2=180, F よって　x =25, E4 Ｉ (2)　△ABC において，直線 BE は 4B の二等分線で B AE：EC=BA：BC A =8：7 よって　AE= 8 AC 8+7 = 32 15 C 7 あるから E B C △ABE において，直線 AI は 4A の二等分線であるから A BI：IE=AB：AE =8： 32 15 B I E =15：4 ５ AP は 4A の二等分線であるから BP：PC=AB：AC A すなわち　BP：0 4 -BP 1 =5：3 5 よって　50 4 -BP 1 =3BP ゆえに　BP= 5 5 2 また　PC=4-BP=4- B 3 3 P C 5 3 5 3 = 2 2 AQ は頂点 A における外角の二等分線であるから　BQ：CQ=AB：AC すなわち　0 4 +CQ 1：CQ=5：3 よって　5CQ=30 4 +CQ 1 ゆえに　CQ=6 -5- Q