53～61

数学B　4STEP(53 ～ 61)　⑥ ベクトルと図形
[改4SB問53]位置ﾍﾞｸﾄﾙの関係から3点が一直線上の証明など
[改4SB問56]ベクトルの分解の性質から係数決定
[改4SB問58]三角形の辺の分点が一直線上の証明,線分比
OA=-2a，OB=4a，OC=2a +4b，OD=6a +2b，OE=-2a -6b であるとき，次
a' 0，b' 0，aTb とする。次の等式を満たす実数 s，t の値を求めよ。
△ABC において，辺 BC を 2：1 に外分する点を P，
のことを証明せよ。ただし，a' 0，b' 0，aTb とする。
(1)　2a + sb = ta - b　(2)　sa + 0 3 -2t1 b =0
(1)　3 点 O，A，B は一直線上にある。　(2)　ACSBD
(3)　c = a -2b，d =2a +3b のとき　sc + td =4a +13b
辺 AB を 1：2 に内分する点を Q，辺 CA の中点を
Q
R とするとき，3 点 P，Q，R は一直線上にあること
(2)　AC=OC-OA= 02a +4b1 - 0-2a1 =40a + b1
(2)　a' 0，b' 0，aTb から　s =0，3-2t =0　よって　s =0，t =
3
2
P
1
解説
AB= b，AC= cとすると
BD=OD-OB= 06a +2b1 -4a =20a + b1
(3)　sc + td = s0a -2b1 + t02a +3b1 = 0 s +2t1 a + 0 -2s +3t1 b
a' 0，b' 0，aTb から　AC ' 0，BD ' 0
よって，与えられた等式から　0 s +2t1 a + 0 -2s +3t1 b =4a +13b
-AB + 2AC
AP=
=-b +2c
2-1
また　AC=2BD　よって　ACSBD
a' 0，b' 0，aTb から　s +2t =4，-2s +3t =13
AQ=
(3)　(2) から　BD=20a + b1
ゆえに　s =-2，t =3
BE=OE-OB= 0-2a -6b1 -4a =-60a + b1
△ABC の辺 AB，BC，CA を 2：1 に内分する点を，それぞれ A 1，B 1，C 1 とする。更
v a' 0，b' 0，aTb の条件から，直線 AB の存在が認められる。
3 点 0 1，x1 ，0 x，01 ，0 -1，61 が一直線上にあるように x の値を定めよ。
2
2
AB= b
3
3
A0 1，x1 ，B0 x，01 ，C0 -1，61 とする。
AB 1 =
AB + 2AC
b + 2c
=
3
2+1
3 点 A，B，C が一直線上にあるとき，　AB= kAC (k は実数) …… ①　とおける。
ゆえに　x -1=-2k　…… ②，　-x = k0 6 - x1 …… ③
x-1
2
8
9
8
9
AA 2 =
AA 1 + 2AB 1
1 2
b + 2c
=
b +2 ･
3 3
2+1
3
=
4b + 4c
9
これを ③ に代入して整理すると　x -5x +6=0
2
A
B1 1
C
ゆえに
P
(1)　3 点 P，Q，C は一直線上にあることを証明せよ。
(2)　PQ：QC を求めよ。
Q
B
(1)　BP=
1
1
BA= a
3
3
BQ=
1
1
1
BD= 0BA +BC1 = 0a + c1
4
4
4
よって　PQ=BQ-BP=
b + 4c 4b + 4c
1
1
=- b =- AB
3
3
9
9
A 2B 2 ' 0，AB ' 0 であるから　A 2B 2SAB　D
点を P，対角線 BD を 1：3 に内分する点を Q とする。
解説
b + 4c
9
A 2B 2 = AB 2 - AA 2 =
平行四辺形 ABCD において，辺 AB を 2：1 に内分する
2
また，BA= a，BC= c とする。
A2
すなわち　A 2B 2SAB
2
B2
1
B
ここで　AB= 0 x -1， - x1 ，AC= 0 -2，6 - x1
よって，① から　0 x -1， - x1 = k0 -2，6 - x1
9
[改4SB問59]平行四辺形の辺の分点と2点が一直線上,線分比
C1
A1
1
1
AC 1 = AC= c
3
3
=
1
b
3
1
2
AB 1 + 2AC 1
1 b + 2c
1
=
+2 ･ c
AB 2 =
3
3
2+1
3
解説
P
C
A
AA 1 =
よって　[改4SB問55]3点(1,x),(x,0),(-1,6)が一直線上にあるxの値
B
ゆえに　QP=4QR　したがって，3 点 P，Q，R は一直線上にある。
AB= b，AC= c とおくと
よって　AP=-2AB　ゆえに，点 P は直線 AB 上にある。
R
また　QR：QP=1：4
解説
AP=OP-OA= 03a -2b1 - a =2a -2b =-20b - a1
QP=AP-AQ= 0-b +2c1 -
8
このとき，A 2B 2SAB であることを示せ。
解説
AB=OB-OA= b - a，
A
2
1
1
c- b
2
3
4
1
1
=- b +2c =4 - b + c
3
3
2
に，△A 1B 1C 1 の辺 A 1B 1，B 1C 1 を 2：1 に内分する点を，それぞれ A 2，B 2 とする。
OA= a，OB= b，OP=3a -2b であるとき，点 P は直線 AB 上にあることを証明せよ。
ただし，a' 0，b' 0，aTb とする。
1
1
1
=- b + c
3
2
[改4SB問57]三角形内に作った三角形と辺の平行(ﾍﾞｸﾄﾙ利用)
[改4SB問54]OA=a,OB=b,OP=3a-2b⇒Pは直線AB上にあるの証明
Q
1
1
1
1
AB= b，　AR= AC= c
3
3
2
2
よって　QR=AR-AQ=
よって　BE=-3BD　ゆえに，3 点 B，D，E は一直線上にある。
これを解いて　x =2，3
C
2
(1)　a' 0，b' 0，aTb から　2= t，s =-1　よって　s =-1，t =2
(1)　OB=4a =-2OA　よって，3 点 O，A，B は一直線上にある。
② から　k =-
R
B
解説
解説
A
2
を証明し，QR：QP を求めよ。
(3)　3 点 B，D，E は一直線上にある。
1
1
1
1
1
a + c1 - a =- a + c
40
3
12
4
PC=BC-BP= c -
1
1
1
a =4 - a + c
3
12
4
8
9
ゆえに　PC=4PQ …… ①
したがって，3 点 P，Q，C は一直線上にある。
(2)　① から　PQ：PC=1：4　よって　PQ：QC=1：3
C
[改4SB問60]三角形の交点の位置ベクトル(ベクトルの相等利用)
△ABC において，辺 AB を 1：2 に内分する点を D，
[改4SB問61]三角形の分点のベクトル表示,線分比
△OAB において，辺 OB の中点を M，辺 AB を 1：2
A
辺 AC を 3：1 に内分する点を E とし，線分 CD，BE
D
の交点を P とする。AB= b，AC= c とするとき，AP
3
2
線分 CM と線分 BD の交点を P とする。
D
OA= a，OB= b とするとき，次の問いに答えよ。
2
を b，c を用いて表せ。
O
に内分する点を C，辺 OA を 2：3 に内分する点を D，
1
P
E
1
C
B
M
3
(1)　OP を a，b を用いて表せ。
P
(2)　直線 OP と辺 AB の交点を Q とするとき，
Q
AQ：QB を求めよ。
A
1
C
B
2
解説
BP：PE= s：0 1 - s1 ，CP：PD= t：0 1 - t1 とすると
AP= 0 1 - s1 AB+ sAE= 0 1 - s1 b +
AP= tAD+ 0 1 - t1 AC=
A
3
sc …… ①
4
(1)　CP : PM= s : 0 1 - s1 ，BP : PD= t : 0 1 - t1 とすると
D
1
tb + 0 1 - t1 c …… ②
3
2
①，② から　3
1- t
s
3
1
0 1 - s1 b + sc = tb + 0 1 - t1 c
4
3
P
B
1
3
b' 0，c' 0，bTc であるから　1- s = t， s =1- t
3
4
これを解いて　s =
8
1
，t =
9
3
8
よって，① から　AP= 1 -
解説
1
1- s
E
1
C
t
OP= 0 1 - s1 OC+sOM= 0 1 - s1 ･
8
3 8
1
2
b+ ･ c= b + c
9
4 9
9
3
9
D
=
s
t
P
Q
A
2 1 - s1
2+s
2
0
a+
b = ta + 0 1 - t1 b
3
6
5
よって，② から　OP=
2
2 5
5
2
4
･ a + 1 - b = a + b …… ③
5 9
9
9
9
8
9
ゆえに，点 P は線分 BE を 8：1 に内分する点であるから
9
C
2
5
，t =
3
9
(2)　OQ= kOP 0 k は実数1 とすると，③ から　OQ=
3
c
4
1
2 1 - s1
2
2+s
a' 0，b' 0，aTb であるから　0
= t，
=1- t
5
3
6
これを解いて　s =
b +8･
2
4
ka + kb …… ④
9
9
また，AQ：QB= u：0 1 - u1 とすると　OQ= 0 1 - u1 a + ub …… ⑤
1
2
= b + c　9
3
2
4
④，⑤ から　ka + kb = 0 1 - u1 a + ub
9
9
2
4
a' 0，b' 0，aTb であるから　k=1- u， k= u
9
9
これを解いて　u =
2
3
，k=
3
2
したがって　AQ：QB=2：1
u　次の項目「ベクトル方程式」で学習する以下のことを用いてもよい。
点 P 0p1 が 2 点 A 0a1 ，B 0b1 を通る直線上にある
C p = sa + tb，s + t =1
t　(2)　OQ= kOP (k は実数) とすると，③ から
2
4
2
4
8 9 a+ 9 b9= 9 ka+ 9 kb
OQ= k
2
4
Q は辺 AB 上にあるから　k+ k =1
9
9
よって　k=
M
3
2
ta + 0 1 - t1 b　…… ②
5
EC
1 AD
1
BP 1 1
= ，
= であるから　が成り立つ。
･･ =1
CA
4
DB
2
PE 4 2
BP
=8
PE
1- s
1- t
OP= tOD+ 0 1 - t1 OB
BP EC AD
=1
¦ABE と直線 CD にメネラウスの定理を適用すると　･
･
PE CA DB
AB + 8AE
=
AP=
8+1
O
2
2 1 - s1
2+s
= 0
a+
b …… ①
3
6
①，② から　t　メネラウスの定理を用いる。
すなわち　2a + b s
+ b
3
2
3
2
ゆえに　OQ=
2 3
4 3
a + 2b
1･a + 2b
=
･ a+ ･ b=
3
2+1
9 2
9 2
よって　AQ：QB=2：1
B

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