数ⅡB 平面ベクトル（黄色チャート）

数ⅡB　平面ベクトル（黄色チャート）
１ s
(2)
(1)
(3)
c
a+b
①+②%2 から　5x = a +2b　ゆえに　x =
c
a+b +c
b
b +c
b
a+b
a
b
a
(4)
2
1
①%2-② から　5y =2a - b　ゆえに　y = a - b
5
5
a
-2b
(2)　x +4y = a …… ①，x -2y = b …… ② とする。
x =2 ， a =8 であるから　k =
解説
①+②%2 から　3x = a +2b
よって　x =
(2)
(1)
(3)
c
1
4
よって　y =
a+b
b
1
1
よって，求めるベクトルは　a，- a
4
4
c
a+b +c
b +c
b
a+b
a
b
a
８ s　x =
9
8
9
2
3
PQ=OQ-OP = 02a + b 1 - 07a -4b 1 =-5a +5b =50b - a 1 …… ②
a +3b = 0 x，-1 1 +30 2，-3 1 = 0 x +6，-10 1 ' 0
①，② から　PQ=5AB また　AB ' 0 ，PQ ' 0
b - a = 0 2，-3 1 - 0 x，-1 1 = 0 2- x，-2 1 ' 0
a +3b と b - a が平行であるための条件は，a +3b = k0b - a 1 となる実数 k が存在する
ことである。
a
-2b
よって　0 x +6，-10 1 = k0 2- x，-2 1
3
５ s　(ア)　-2　(イ)　(ウ)　2
2
a -2b +3c
a -2b
1
1
1 5
a - b 1 = 60 2，2 1 - 0 5，-3 1 7 = - ，
60
6
2 6
解説
(5)
a
8
(2)　AB=OB-OA= b - a　…… ①
したがって　PQSAB
(4)
1
1
4
a +2b 1 = 60 2，2 1 +20 5，-3 1 7 = 4，30
3
3
①-② から　6y = a - b
1
すなわち　k= $
4
(1) ～ (5)　"図#
9
よって，① から　b =2a - 0 4，1 1 =20 1，2 1 - 0 4，1 1 = 0 -2，3 1
このとき　x = ka = k a
3c
8
①%2-② から　a =20 4，1 1 - 0 7，0 1 = 0 1，2 1
(1)　求めるベクトルを x とする。
a -2b
9
(1)　2a - b = 0 4，1 1 …… ①，3a -2b = 0 7，0 1 …… ② とする。
xSa であるから，x = ka となる実数 k がある。
-2b
4
1 5
，y = - ，
3
2 6
解説
解説
a -2b +3c
a -2b
8
７ s　(1)　a = 0 1，2 1 ，b = 0 -2，3 1 (2)　x = 4，-
1
1
４ s　(1)　a，- a　(2)　略
4
4
(5)
a
1
2
a+ b
5
5
-2b
a -2b
ゆえに　x +6= k0 2 - x 1 …… ①，-10=-2k …… ②
解説
② から　k=5 このとき，① から　x =
この正六角形の対角線 AD，BE，CF の交点を O
A
F
とすると
3c
t　a +3b = 0 x +6，-10 1 ' 0 ，b - a = 0 2- x，-2 1 ' 0 であるから
ア
0a +3b 1S0b - a 1
CF=2CO=-2OC = -2AB
B
1
AM=AD+DM=2AO+ DE
2
２ s　(1)　略　(2)　略
解説
(1)　AB-DB+DC= 0AB +BD 1 +DC =AD+DC=AC
したがって　AB-DB+DC=AC
=20AB +BO 1 -
1
ED
2
=20AB +AF 1 -
1
AB
2
(2)　PS+QR- 0PR +QS 1 =PS+QR-PR-QS =PS+QR+RP+SQ
= 0PS +SQ 1 + 0QR +RP 1 =PQ+QP=PP=0
8
= 2 -
E
O
0 x + 6 1 % 0 -2 1 - 0 -10 1 % 0 2 - x 1 = 0
2
ゆえに　-2x -12+20-10x =0 よって　x =
3
M
C
D
９ s　a =0，b =3；隣り合う 2 辺の長さは U 58 ，U 5 ；対角線の長さは U 89 ，U 37
解説
四角形 ABCD が平行四辺形であるための条件は　AD=BC
1
AB+2AF
2
9
ここで　AD= 0 a - 0 -1 1，b -1 1 = 0 a +1，b -1 1
イ
したがって　PS+QR=PR+QS
t　PS+QR- 0PR +QS 1 =PS+QR-PR-QS = 0PS -PR 1 + 0QR -QS 1
=RS+SR=RR=0
3
ウ
=
AB+ 2AF
2
BC= 0 7-6，6 -4 1 = 0 1，2 1
ゆえに　a +1=1 ，b -1=2
６ s　(1)　x =5 ，y =4 (2)　(ア)　-2　(イ)　5
したがって　PS+QR=PR+QS
解説
これを解いて　a =0 ，b =3
また
y
AB = U 6 6 - 0 -1 1 7 + 0 4 - 1 1 = U 7 + 3 = U 58
2
3
1
1
2
2
1
３ s　(1)　a +4b　(2)　(ア)　x = a - b　(イ)　x = a + b，y = a - b
4
2
5
5
5
5
解説
(1)　202a - b 1 -30a -2b 1 =4a -2b -3a +6b = 0 4 -3 1a + 0 -2 +6 1b = a +4b
(2)　(ア)　2a -3x = x - a +2b から　-3x - x =-a +2b -2a
よって　-4x =-3a +2b　ゆえに　x =
2
3
3
1
a- b
4
2
(1)　c = xa + yb から　0 22，7 1 = x0 2，3 1 + y0 3，-2 1 = 0 2x +3y，3x -2y 1
よって　2x +3y =22 ，3x -2y =7
これを解いて　x =5 ，y =4
(2)　v = sa + tb とすると　0 1，9 1 = s0 7，-2 1 + t0 3，1 1 = 0 7s +3t，-2s + t 1
よって　7s +3t =1 ，-2s + t =9
2
2
C 0 7，61
BC = U 1 2 + 2 2 = U 5
よって，隣り合う 2 辺の長さは
D 0 a，b 1
U 58 ，U 5
対角線の長さは AC ， BD である。
2
2
2
BD = U 0 0 - 6 1 2 + 0 3 - 4 1 2 = U 0 -6 1 2 + 0 -1 1 2 = U 37
イ
したがって　v = -2a + 5b
したがって，対角線の長さは　U 89 ，U 37
(イ)　x +2y = a …… ①，2x - y = b …… ② とする。
-1-
B 0 6，4 1
A 0 -1，11
AC = U 6 7 - 0 -1 1 7 + 0 6 - 1 1 = U 8 + 5 = U 89
2
これを解いて　s =-2 ，t =5
ア
2
O
x
10 s　t =
この等式において，0 右辺 1 >0 であるから　0 左辺 1 >0
ゆえに　0< p <1
1
のとき c は最小値 2
5
a =2 ， b =3 を代入して　6 % 2 2 -5 % 2 % 3 % cos h - 3 2 =0
ゆえに　150 1 -2cos h 1 =0 よって　cos h =
このとき，① の両辺を 2 乗して整理すると　p 2 -4p +1=0
解説
これを解いて　p =2 $ U 3
0,( h ( 180, であるから　h =60,
c = a + tb = 0 2，1 1 + t0 -4，3 1 = 0 2-4t，1 +3t 1
0< p <1 であるから　p =2- U 3
(3)　a - b
2
よって　c = 0 2 - 4t 1 2 + 0 1 + 3t 1 2 =25t 2 -10t +5
2
1
t+
5
5
>
8 9?
1
=25 t 8 5 9 +4
=25 t 2 -
2
-25 ･
1
5
8 9
2
c ) 0 であるから，t =
2
1
13 s　(1)　x =- (2)　q = 0 b，-a 1 ，0 -b，a 1
2
+5
よって　cos h =-
(1)　a5b であるための条件は　a ･ b =0
は最小値 4 をとる。
2
2
=13 であるから　10-6cos h =13
1
2
0,( h ( 180, であるから　h =120,
ここで　a ･ b = 0 x -1 1 % 1+3 % 0 x +1 1 =4x +2
ゆえに　4x +2=0 よって　x =-
11 s　(1)　1　(2)　-1　(3)　-3
解説
4A=90, ，AB=1 ，BC=2 から
A
4B=60, ，AC= U 3
U3
1
1
2
16 s　(1)　t =
解説
p = q であるから　x 2 + y 2 = a 2 + b 2 …… ①
(1)　a - b
p5q であるから　p ･ q =0
= 3 2 -2a ･ b + 4 2 =25-2a ･ b
よって　ax + by =0 …… ②
a-b
60,
30,
B
C
2
1
=1 % 2 % =1
2
[2]　b ' 0 のとき　② から　y =-
BC のなす角 0BD と BC のなす角1 は 120, であるから
AB ･ BC= AB BC cos 120,
8 9
120,
1
C
2
[1]，[2] から　q = 0 b，-a 1 ，0 -b，a 1
A
U3
と CA のなす角 0CE と CA のなす角1 は 180, であ
180,
るから
B
C
a - 2b
E
t　AC ･ CA=AC ･ 0-AC 1 =- AC =-3
2
= 0a + b 1 ･ 0a + b 1 = a +2a ･ b + b
2
= 0a -2b 1 ･ 0a -2b 1 = a -4a ･ b +4 b
2
2
よって　a ･ b =
2
すなわち　a + 0 1 - t 1a ･ b - t b
2
2
= 0a - b 1 ･ 0a - b 1 = a -2a ･ b + b
2
2
2
= 02a -3b 1 ･ 02a -3b 1 =4 a -12a ･ b +9 b
2
2
2a -3b ) 0 であるから　2a -3b = U 7
=4 % 2 2 -12 % 3+9 % 0 U 3 1 2 =7
4a -7b = 0 8，4 1 - 0 7，7 1 = 0 1，-3 1
15 s　(1)　h =135, (2)　h =60,　(3)　h =120,
解説
ゆえに　AB ･ AC=2 % 3+ 0-2U 3 1 % 0-U 3 1 =12
0 -1 1 % 3 + 5 % 0 -2 1
U 0 -1 1 2 + 5 2 U 3 2 + 0 -2 1 2
=-
1
U2
0,( h ( 180, であるから　h =135,
1
(3)　a ･ b = a b cos 60, から　1- p = U 2 % U 1 + p %
2
(2)　0a - b 1506a + b 1 であるから　0a - b 1 ･ 06a + b 1 =0
よって　20 1 - p 1 = U 201 + p 21 …… ①
したがって　6 a -5a ･ b - b
2
2
=0
-2-
45
13
2
8
(1)　-2a +3b = 0 -4，-2 1 + 0 3，3 1 = 0 -1，1 1
(1)　cos h =
=0
3 3
3
3 3
3
17 s　b = -2- U ，- +2U 3 ， 2- U ， +2U 3
2
2
2
2
2a - 3b
AC= 02+1，1+ U 3 -1 -2U 3 1 = 0 3，-U 3 1
2
9
① から　3 2 + 0 1 - t 1 % - t % 1 2 =0
4
ゆえに　t =
したがって　a ･ b =3
解説
(2)　AB= 01+1，1-1 -2U 3 1 = 0 2，-2U 3 1
9
…… ①
4
a + b ) 0 であるから　a + b = U 23
a =2 ， b = U 3 ，a ･ b =3 であるから
よって　0-2a +3b 1 ･ 04a -7b 1 =-1 % 1+1 % 0 -3 1 =-4
2
= 2 2 であるから　13-4a ･ b =4
0a - tb 150a + b 1 から 0a - tb 1 ･ 0a + b 1 =0
ここで　2a - 3b
12 s　(1)　-4　(2)　12　(3)　p =2- U 3
=0
= 3 2 +20 -1 1 + 4 2 =23
(2)　a - b
U3
2
a =2 ， b = U 3 ， a - b =1 であるから　1 2 = 2 2 -2a ･ b + 0U 3 1 2
= U 3 % U 3 % 0 -1 1 =-3
2
11
32
解説
(1)　a + b
2
2
(2)　a - 2b
14 s　(1)　U 23 (2)　U 7
D
(3)　図のように AC=CE となる点 E をとる。AC
11
…… ①
2
= 3 2 -4a ･ b +4 % 1 2 =13-4a ･ b
t　AB ･ BC= 0-BA 1 ･ BC=- BA BC cos 60,
1
=-1 % 2 % =-1
2
= 6 2 であるから　25-2a ･ b =36
ゆえに　t =
x = b のとき　y =-a，x =-b のとき　y = a
60,
B
1
=-1
2
2
11
① から　+ t % 4 2 =0
2
したがって，③ から
1
2
すなわち　a ･ b + t b
よって　x 2 = b 2 ゆえに　x = $b
A
= 0a - b 1 ･ 0a - b 1 = a -2a ･ b + b
0a + tb 15b から　0a + tb 1 ･ b =0
a
x　…… ③
b
① に代入して整理すると　0a 2 + b 21 x 2 = b 20 a 2 + b 21
(2)　図のように AB=BD となる点 D をとる。AB と
2
2
よって　a ･ b =-
よって，① から　y = $a
BA ･ BC= BA BC cos 60,
11
45
(2)　t =
32
13
(2)　q = 0 x，y 1 とする。
[1]　b =0 のとき　a ' 0 であるから，② より　x =0
(1)　BA と BC のなす角は 60, であるから
AC ･ CA= AC CA cos 180,
2
a - b = U 13 より， a - b
解説
1
のとき c は最小値 2 をとる。
5
=1 % 2 % -
= 0a - b 1 ･ 0a - b 1 = a -2a ･ b + b
= 1 2 -2 % 1 % 3 % cos h + 3 2 =10-6cos h
2
1
ゆえに，t = のとき c
5
2
1
2
9 8
9
解説
a = U 0 -3 1 2 + 4 2 = U 25 =5 から a = 0 5cos h ，5sin h 1 と表される。
このとき，b = 0 x，y 1 とすると
x =5cos 0 h $ 30, 1 ，y =5sin 0 h $ 30, 1
y
したがって，P は，t =
と表される。ただし，複号同順である。
このとき，すべて複号同順として
4
5cos 0 h $ 30, 1 =50 cos h cos 30, P sin h sin 30, 1
b
2
2
-3
3
1
= U ･ 5sin h $ ･ 5cos h
2
2
(2)　x 2 + y 2 =1 を満たす x，y に対して，O を原点，
OP= 0 x，y 1 とし，OA= 0 2，3 1 とする。 OA，
30,
O
x
1
h
P
OP のなす角を h 0 0,( h ( 180, 1 とすると，(1) から
(1)　a =0 または b =0 のとき，a ･ b =0 ， a b =0 であるから
b
5sin 0 h $ 30, 1 =50 sin h cos 30, $ cos h sin 30, 1
A 0 2，31
OA ･ OP= U 13 cos h
解説
30,
y
(1)　OA = U 2 2 + 3 2 = U 13 ， OP =1 から
20 s　(1)　略　(2)　略
a
3
1
= U ･ 5cos h P ･ 5sin h
1
のとき最小値 U 3 をとる。
3
-1
-1 ( cos h ( 1 であるから
a ' 0 ，b ' 0 のとき，a と b のなす角を h とすると
2x +3y の最大値は U 13 ，最小値は -U 13
ここで，5cos h =-3 ，5sin h =4 であるから
a ･ b = a b cos h ，-1 ( cos h ( 1
3
1
3 3
x = U ･ 0 -3 1 P ･ 4=- U P 2
2
2
2
t 1　2x +3y = k とおく。この式と x 2 + y 2 =1 から y を消去して
ゆえに　a ･ b = a b cos h ( a b
13x 2 -4kx + k 2 -9=0 …… ①
よって， a ･ b ( a b が成り立つ。
3
1
3
y = U ･ 4 $ ･ 0 -3 1 =2U 3 P
2
2
2
8
18 s　(1)　S =
9 8
1
Ua
2
2
2
b
- 0a ･ b 1 (2)　S =
2
9
0 a b
2
2
- a･b
よって　a ･ b
1
a b - a 2b 1
2 1 2
2
(0 a b
(2)　(1) から　0 a + b
b B
a･b
=
1
a b
2
] 8
1
= U a
2
a･b
1-
2
U
a
a b
2
9
O
b
2
2
A
(0 a + b
1
1
sin 0 h + a 1 ( 1 から　-U 13 ( 2x +3y ( U 13
よって　最大値は U 13 ，最小値は -U 13
2
3
1
1
2
5
5
23 s　(1)　a + b + c　(2)　- a + b + c
5
5
5
3
6
6
解説
よって　a ( a + b + b
(1)　2 点 M，N の位置ベクトルを，それぞれ m，n とする。
m =
2
P ) 0 であるから　P ) a
2
P 2) a
b +c
であるから
2
2
3a + 2m
1
1
1
= 3a +2 b + c
2+3
5
2
2
=
3
1
1
a+ b+ c
5
5
5
2
=0 かつ a ･ b =0 …… ②
8
+4 =9 t -
1
3
9
2
2
m
c
3
M
C
>
8
2
5
5
9? =- 3 a+ 6 b + 6 c
G
解説
> 0 かつ t の 2 次方程式 b t 2 + 2a ･ bt = 0
…… ③
22 s　(1)　U 13 cos h (2)　最大値は U 13 ，最小値は -U 13
+3
b
B
-3a + 5g
1
1
1
1
= -3a +5 a + b + c
5-3
2
3
3
3
6 点 A，B，C，D，E，F の位置ベクトルを，それぞれ a，b，c，d，e，f とすると
d =
3b + 5c
3c + 5a
3a + 5b
，　e =
，　f =
5+3
5+3
5+3
よって　AD+BE+CF= 0d - a 1 + 0e - b 1 + 0f - c 1
=
P 2 = 2 2 +2t % 0 -3 1 + t 2 % 3 2 =4-6t +9t 2
9?
24 s　略
したがって，求める a と b の間の関係式は　a ･ b =0
a =2 ， b =3 ，a ･ b =-3 であるから
8
a+b +c
であるから
3
d =
② から　b =0 ③ から　b ' 0 かつ a ･ b =0
2
>
n 2 N
2
または
2
O
n =
g =
2
b
A
a
(2)　2 点 D，G の位置ベクトルを，それぞれ d，g とする。
2
P = a + tb から　P 2 = a +2ta ･ b + t 2 b …… ①
D
2
の判別式 D について　= 0a ･ b 1 ( 0
4
2
2
2
3
，cos a =
13
U
U 13
① において，a を a + b，b を -b とすると　a + b - b ( a + b + -b
b
8 9? 8 9
2
P - a ) 0 がすべての実数 t に対して成り立つ条件は
P = a + tb から　P 2 = a +2ta ･ b + t 2 b
よって，t =
a
2
解説
>
2
2
2
1
3
- 0 a +2a ･ b + b
① から　P 2 - a = b t 2 +2a ･ bt
1
19 s　t = のとき最小値 U 3
3
-9
2
解説
1
1
ゆえに，(1) から　S = U 0a 1b 2 - a 2b 11 2 = a 1b 2 - a 2b 1
2
2
2
2
= a +2 a b + b
21 s　a ･ b =0
= a 1 2b 2 2 + a 2 2b 1 2 -2a 1b 1a 2b 2
2
1
t+
3
3
2
2
2
=9 t 2 -
- a+b
①，② から　a - b ( a + b ( a + b
- 0a ･ b 1 = 0a 1 2 + a 2 210b 1 2 + b 2 21 - 0 a 1b 1 + a 2b 21 2
= 0 a 1b 2 - a 2b 11
2
2
(2)　OA= a，OB= b とすると　a = 0a 1，a 21 ，b = 0 b 1，b 21
b
a
1
ゆえに　a - b ( a + b …… ②
b - 0a ･ b 1
- 0a ･ b 1
ただし，sin a =
2
a b
2
2x +3y =2cos h +3sin h = U 13 sin 0 h + a 1
2
a + b ) 0 ， a + b ) 0 であるから　a + b ( a + b …… ①
h
1
= a b %
2
2
ゆえに　a + b
S
1
1
よって　S = a b sin h = a b U 1 - cos 2 h
2
2
t 2　0 x，y 1 = 0 cos h ，sin h 1 0 0,( h <360, 1 と表されるから
=20 a b - a ･ b 1 ) 0
b
a b
また　sin h >0
1
D
)0
4
よって，-U 13 ( k ( U 13 から最大値は U 13 ，最小値は -U 13
= 0a 2 + b 21 0c 2 + d 21 - 0 ac + bd 1 2
a ･ b ) 0 ， a b ) 0 であるから　a ･ b ( a b
(1)　4AOB= h 0 0, < h <180, 1 とすると
a
1
= a 2d 2 + b 2c 2 -2acbd = 0 ad - bc 1 2 ) 0
解説
cos h =
x は実数であるから，① の判別式 D について　t　a = 0 a，b 1 ，b = 0 c，d 1 とすると
3 3
3
3 3
3
したがって　b = -2- U ，- +2U 3 ， 2- U ， +2U 3
2
2
2
2
x
1
O
-1
2x +3y =OA ･ OP= U 13 cos h
a ･ b = a b
解説
1
のとき P 2 は最小値 3 をとる。
3
P ) 0 であるから，P 2 が最小となるとき，P も最小となる。
-3-
3b + 5c
3c + 5a
3a + 5b
-a+
-b +
- c =0
8
8
8
t　AD=
3AB + 5AC
3
5
= AB+ AC
5+3
8
8
BE=AE-AB=
CF=AF-AC=
3
AC-AB
8
5
AB-AC
8
3
5
E
5
D
5
3
C
る点
2
2
9
CH･ AB= 0a + b 1 ･ 0b - a 1 = b
2
2
8
s+t
1 a+c
b +d
a +b +c +d
=
+
=
2
2
2
2
4
解説
解説
15DM + 4DC
DN=
=
19
2
2
AD
3
P
よって　AP：PD=2：1
ゆえに，点 P は，線分 BC を 3：5 に内分する点を
D としたとき，線分 AD を 2：1 に内分する点である。
1
B
3
D
C
5
(2)　△PBC の面積を S とすると
8
15 a +
A
2
c + 4c
5
19
9
+
2
=3 a +6 b
1
2
a+ b
3
3
=9
4
4
a･b+ b
9
9
2
2
O
1
2
b
P
2 3
1-t
1-s
a
Q
s
R t 1
b
A
B
1
1
a+ b
2
2
8
1
=2
84 a
2
2
= a + b
2
1
1
+
b- a
2
2
1
1
+ a･b+ b
2
4
2
2
= AB + AC
2
2
B
9
1
+ b
4
2
-
1
1
a･b+ a
2
4
2
解説
2
から　AB ･ AC-AC ･ AC=0
ゆえに　0AB -AC 1 ･ AC=0
AB-AC=CB であるから　CB ･ AC=0
6
3
1
4
，t = ゆえに　OR= a + b
7
7
7
7
よって　CB5AC
したがって，△ABC は 4C=90, の直角三角形である。
29 s　略
(2)　AB ･ BC=BC ･ CA から　BC ･ 0AB +AC 1 =0
解説
(1)　線分 KM の中点を P とし，点 K，M，P の位置
O は △ABC の外心であるから　OA=OB=OC
A
K
ベクトルを，それぞれ k，m，p とすると
N
S
L
P
T
a +b +c
G は △ABC の重心であるから　OG=
3
M
D
2
=0
すなわち　AC=AB …… ①
c
C
また，BC ･ CA=CA ･ AB から，上と同様にして
①，② から　AB=BC=CA
= b + c
したがって，△ABC は正三角形である。
よって　AH･ BC= 0b + c 1 ･ 0c - b 1 = c
(2)　点 L，N，S，T の位置ベクトルを，それぞれ l，n，s，t とする。
2
BA=BC …… ②
=3OG-OA= 0a + b + c 1 - a
C
2
よって　AC = AB
H
O
b
B
ゆえに　AH=OH-OA
2
ゆえに　AC - AB
a
G
よって　a = b = c
B
a +b
c+d
k+ m
k=
，m =
，p =
2
2
2
よって　0AC -AB 1 ･ 0AB +AC 1 =0
A
OA= a，OB= b，OC= c とする。
2
-b
2
=0
すなわち　AH5BC　したがって　AH5BC
-4-
1
2
b
1
2
31 s　(1)　4C=90, の直角三角形　(2)　正三角形
(1)　AB ･ AC= AC
1
2
t， s =1- t
3
3
解説
-2a ･ b + a
a
すなわち　CB5AC
a +b + c +d
，証明略
4
2
1
1
1
BC= b - a
2
2
2
=2
2
9+20 b
2
A
2
2
sb　…… ①
3
+2 b - a
=3AB 2 +6AC 2
よって　20 AM 2 + BM 21 =20 AM + BM
1
a
3
2
(2)　AB= a，AC= b とすると
C
1
4
28 s　OR= a + b
7
7
よって　s =
a+b +c+d
=
4
2
BM=
a ' 0 ，b ' 0 ，aTb であるから
a + b +c + d
(2)　線分 LN の中点の位置ベクトルは
，
4
1
したがって，3 点 D，L，N は一直線上にある。
1- s =
2
+2 BC
AB + AC
1
1
AM=
= a+ b
2
2
2
よって
9
3
N
B
2
1
①，② から　0 1 - s 1a + sb = ta + 0 1 - t 1b
3
3
8
c
15
1
OR= 0 1 - t 1OB+ tOP = ta + 0 1 - t 1b　…… ②
3
a+b +c+d
4
2
25
①，② から　DN=
DL
19
OR= 0 1 - s 1OA+ sOQ = 0 1 - s 1a +
5
3
△PBC：△PCA：△PAB= S： S： S =4：5：3
4
4
(イ)　9AP 2 +2BC 2 =9 AP
89 a
AR：RQ= s：0 1 - s 1 ，BR：RP= t：0 1 - t 1 とすると
5
3
△PBC= S
3+5
8
1 a +b
c+d
よって　p =
+
2
2
2
4
1 % AB + 2 % AC
1
2
= a+ b
2+1
3
3
=9
L
解説
5
5
△PBC= S，
3+5
8
線分 ST の中点の位置ベクトルは
2
2
3
D
a
M
5
3
ゆえに　△PCA=2△PDC= S，△PAB=2△PBD= S
4
4
26 s　(1)　(1)　(ア)　AP=
15a + 10c
5
=
=
3a +2c 1 …… ②
19
19 0
5AB + 3AC
とおくと，点 D は線分
8
BC を 3：5 に内分する点であり　AP=
3a + 2c
…… ①
5
2
c であるから
5
(1)　等式から　-4AP+50AB -AP 1 +30AC -AP 1 =0
A
したがって　BH5CA，CH5AB
1
2
30 s　(1)　(ア)　AP= a + b　(イ)　略　(2)　略
3
3
DM=DA+AM= a +
5AB + 3AC
2
5AB + 3AC
ゆえに　AP=
= %
12
3
8
- a =0
3 つの線分は 1 点 (3 つの線分のそれぞれの中点) で交わる。
DA= a，DC= c とすると　DL=
解説
=0
BH' 0 ，CH' 0 であるから　BH5CA，CH5AB
(1) の結果より，3 つの線分 KM，LN，ST の中点の位置ベクトルが一致するから，
(2)　4：5：3
△PBD=
ゆえに　BH･ CA= 0a + c 1 ･ 0a - c 1 = a - c
27 s　略
25 s　(1)　線分 BC を 3：5 に内分する点を D としたとき，線分 AD を 2：1 に内分す
△PDC=
CH=OH-OC=3OG-OC = 0a + b + c 1 - c = a + b
3
8 8 -1+ 8 9AB+8 8 + 8 -19AC=0
ここで，AD=
9
線分 ST の中点の位置ベクトルは
3
B
5
8
F
AD+BE+CF
更に　BH=OH-OB=3OG-OB= 0a + b + c 1 - b = a + c
l+n
1 b +c
d +a
a+b +c+d
=
+
=
2
2
2
2
4
3
5
ゆえに
=
線分 LN の中点の位置ベクトルは
A
M
9
2
C
t　(2)　AB ･ BC=BC ･ CA から　BC ･ 0AB -CA 1 =0
A
これを解いて　k=
ゆえに　BC ･ 0AB +AC 1 =0
3
1 7
36 s　(1)　k=- (2)　， (3)　3
5
5 5
8
9
解説
ここで，辺 BC の中点を M とすると
AB+AC=2AM
9
4
3
よって　OS= a + b
7
7
7
BC ･ AM = 0
34 s　(1)，(2)　"図#　(2) は境界線を含む
BC5AM
AM は辺 BC の垂直二等分線
AB = AC
B
M
(1)
C
(1)　H 0 s，t 1 とすると　AH= 0 s -2，t +1 1
(2)
O
O
AH= kn とすると　s -2=3k，t +1=-4k
よって　s =3k +2 …… ①，t =-4k -1 …… ②
同様に，BC ･ CA=CA ･ AB から　BA=BC
A
よって，△ABC は正三角形である。
A-
B
また　3s -4t +5=0
B-
これに ①，② を代入して整理すると　25k+15=0
したがって　k=-
2
2
32 s　(1)　p = 0 1 - t1 a +2tb　(2)　p = 1 - t a +2tb
3
3
8
9
解説
A-
直線上の任意の点を P 0p 1，t を媒介変数とする。
O
2
C
1
よって，求める直線のベクトル方程式は
OP= sOA+ tOB =
p
2
A
B
1
P
2
1 - t 1a +2tb
30
D
ここで，
s
t
3OA 1 + 03OB 1
30
3
A
2
a
3
s
t
= s - ， = t - ，3OA=OA - ，
3
3
よって，求める直線のベクトル方程式は
2
p =OA+ tCD= a + t 2b - a
3
A-
B-
8
8
= 1 -
9
A
2
t a +2tb
3
9
1
から　3s +3t ( 1
3
p
tCD
8
=3s
B
1
1
OA +3t OB
3
3
9 8
4
1
4
3
33 s　(1)　OR= a + b　(2)　OS= a + b
9
3
7
7
解説
O
すなわち　OP -
A-
9
B-
2
1
OA =2
2
1
OA
2
表す。
1
OB=OB - とおくと
3
O
A
B
OP= s -OA - + t -OB - ，s - + t -( 1 ，s -) 0 ，t -) 0
よって，点 P が描く図形は △OA -B - の周および内部　"図#
よって　OP ･ 0OP -OA 1 =0
35 s　(1)　2x + y -2=0 (2)　a =60,
3
点 R は直線 BP 上にあるから　x + y =1 …… ②
2
4
1
①，② を解いて　x = ，y =
9
3
4
1
a+ b
9
3
(2)　3 点 O，R，S が一直線上にあるから，OS= kOR となる実数 k が存在する。
P
ゆえに　OP=0 または AP=0 または
OP5AP
P 0 x，y 1 とすると　BC ･ AP=0
2
3
OP= OA であるから　OR= xOP+ yOB
3
2
A
すなわち　OP ･ AP=0
(1)　求める直線は，点 A を通り，BC= 0 12，6 1 に垂直な直線であるから，直線上の点を
5
y =1 …… ①
3
(2)　OP ･ OP=OP ･ OA を変形すると
OP ･ OP-OP ･ OA=0
3
5
OQ= OB であるから　OR= xOA+ yOQ
5
3
8
A
P
ゆえに，線分 OA の中点を中心とする半径 2 の円を
(1)　OR= xOA+ yOB とする。
(1) から　OS= k
(1)　2OP-OA =4 を変形すると
1
2 OP- OA =4
2
解説
したがって　OR=
3
U 3 2 + 0 -4 1 2 =3
5
1
ここで，3s = s - ，3t = t - ， OA=OA - ，
3
P
D
点 R は直線 AQ 上にあるから　x +
から　AH= AH =
解説
OP= s -OA - + t -OB - ，s - + t - =1 ，s -) 0 ，t -) 0
OP= sOA+ tOB
C
7
37 s　(1)　線分 OA の中点を中心とする半径 2 の円
(2)　線分 OA を直径とする円
3OB=OB - とおくと
(2)　s + t (
O
1
85，59
3
(3)　AH = - n
5
B
よって，点 P が描く図形は線分 A -B -　"図#
(2)　CD=OD-OC=2b -
3
1
7
のとき ①，② から　s = ，t =
5
5
5
よって　H
O
s
t
(1)　s + t =3 から　+ =1
3
3
OD=2OB=2b
=
(2)　k=-
B
解説
2
2
(1)　OC= OA = a
3
3
p = 0 1 - t 1OC+ tOD
A
B-
3
5
O
よって，線分 OA を直径とする円を表す。
38 s　(1)　略　(2)　3x +4y -14=0
AP= 0 x +1，y -4 1 であるから
解説
120 x +1 1 +60 y -4 1 =0
すなわち　2x + y -2=0
(1)　AP 0 = 0 2-3，2- 0 -5 1 1 = 0 -1，7 1
(2)　2 直線 1 ，2 の法線ベクトルは，それぞれ
y
1
m = 01，-U 3 1 ，n = 0U 3 ，31 とおける。
-2U 3
1
cos h =
=
=2
2
2
3
%
U
m n
m ･n
0,( h ( 180, であるから　h =120,
a
n
O
-
したがって　a =180, - h =60,
ゆえに　AP 0 ･ BP 0 = 0 -1 1 % 7+7 % 1=0
U3
m と n のなす角を h 0 0,( h ( 180, 1 とすると
1
3
a
AP 0 ' 0 ，BP 0 ' 0 であるから　AP 05BP 0
h
すなわち　4AP 0B=90,
x
m
9
したがって，点 P 0 は円 C 上の点である。
(2)　円の中心を C とすると　C 0 -1，-2 1
2
4
1
4
1
a + b = ka + kb
9
3
9
3
BP 0 = 0 2- 0 -5 1，2 -1 1 = 0 7，1 1
P 0 における円 C の接線上の任意の点 P 0 x，y 1 に対して
CP 0 ･ P 0P=0 …… ①
4
1
点 S は直線 AB 上にあるから　k+ k=1
9
3
CP 0 = 0 2- 0 -1 1，2- 0 -2 1 1 = 0 3，4 1 ，P 0P= 0 x -2，y -2 1 であるから，① より
-5-
30 x -2 1 +40 y -2 1 =0
y
(1)
t =1
R
4
3x +4y -14=0
y
(2)
したがって，点 P 0 における円 C の接線の方程式は
4
R
3
2
39 s　辺 BC の中点をM とすると，点 P は線分 AM を 2：1 に内分する点を中心とする
2
半径が
AM の円周上の点である
3
B
1
1
O
解説
2
AQ
A
t =0
2 3 4 5
B
1
x
Q
A
1
O
2
A-
x
4
BA ･ CA=0 から，△ABC は 4A=90, の直角三角形である。
t　P 0 x，y 1 とおくと，OP= 0 x，y 1 であるから，OP= sOA+ tOB を成分で表す
と　0 x，y 1 = s0 2，1 1 + t0 1，2 1 = 0 2s + t，s +2t 1
条件の等式から
AP ･ 0AP -AB 1 + 0AP -AB 1 ･ 0AP -AC 1 + 0AP -AC 1 ･ AP=0
よって　BA ･ CA=0 より，AB ･ AC=0 であるから
AP
2
2
-AP ･ AB+ AP
-AP ･ AC-AB ･ AP+ AP
整理すると　3 AP
2
-2AB ･ AP-2AC ･ AP=0
よって　3 AP
2
-20AB +AC 1 ･ AP=0
2
-AC ･ AP=0
3 AP
よって　AP
2
s =
ゆえに　AP -
(1)　-4AM･ AP=0
-
4
AM･ AP=0
3
2
AM
3
2
=
2
AM
3
A
2
(2)　1
B
M
C
の円周上の点である。
(2)
t =1
R
y
F
-x + 2y ) 0
R
2
A-
Q
A
t =0
2 3 4
B
1
5
x
O
(2)
-x +2y =3
B
-x +2y =0
1
A
1
y
2
Q
A-
O1
4
x
2
3
2x - y =3 2
3 4
5
x
2x - y =0
4
3
2
-x +2y =0
B
A
O1
2 3
x
4
x + y =3
2x - y =6
(1)　s = k として固定するとき，kOA=OQ ，kOA+OB=OR とおくと，P は図の線
分 QR 上を動く。
更に，k を 1 ( k( 2 の範囲で動かすと，Q は図の線分 AA- 上を動く。
ゆえに，求める図形は図の斜線部分。ただし，境界線を含む。"図#
(2)　s + t = k として固定する。このとき，
y
1
A
解説
s
t
+ =1 であるから，kOA=OQ ，
k
k
kOB=OR とおいて
OP=
3 ( x+ y( 6
ゆえに　2x - y ) 0
1
2
- x + y) 0
3
3
4
3
3
2
2
4
B
1
F
1
1
x+ y (2
3
3
2
1
x- y )0
3
3
(1)
3
O
>
よって，求める図形は図の斜線部分。ただし境界線を含む。"図#
40 s　(1)，(2)　"図#　境界線を含む
(1) y
1
2
1
x- y( 2
3
3
3 ( 2x - y ( 6
ゆえに　1
2
0 ( -x + 2y ( 3
0 ( - x+ y( 1
3
3
1(
2
2
AM を 2：1 に内分する点を中心とする半径が AM
3
2
F
1(
2
1
1
2
x - y，t =- x + y
3
3
3
3
よって，求める図形は図の斜線部分。ただし境界線を含む。"図#
したがって，辺 BC の中点をM とすると，点 P は線分
4
y = s + 2t
これを s，t について解くと
ここで，辺 BC の中点を M とすると，AB+AC=2AM であるから
2
x = 2s + t
>
s
t
s
t
s
t
OQ+ OR ， + =1 ， ) 0 ， ) 0
k
k
k
k
k
k
よって，P は図の線分 QR 上を動く。
更に，k を 1 ( k( 2 の範囲で動かすと，Q は図の線分 AA- 上を動く。
ゆえに，求める図形は図の斜線部分。ただし，境界線を含む。"図#
-6-
6
x + y =6

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