高 2理系 数学 B 1学期期末考査対策 2(ベクトルの応用) 20120626 1 (1) BP:PE= s:0 1 - s1 ,CP:PD= t:0 1 - t1 と 三角形 ABC と点 P があり,4PA+5PB+3PC=0 を満たしている。 3 = 0 1 - s1 b + sc …… ① 5 (2) 面積比 △PAB:△PBC:△PCA を求めよ。 3 5AB + 3AC 2 5AB + 3AC = % 12 3 8 A 2 s = 1 ゆえに,点 P は,線分 BC を 3:5 に内分する点を D としたとき,線分 AD を 2:1 に内分する点である。 B 3 D C 5 8 8 9 u = 2 9 3 AE= AF= D AB= b,AC= c とするとき 3 (1) AP を b,c で表せ。 B P 2 Q p = sa + tb,s + t =1 C したがって,EF= 8 9 23 k+ k =1 これを解いて k = 23 23 17 u 2 (1) の AP を求めるのにメネラウスの定理,(2) の AQ を求めるのにチェバの定 理を利用してもよい。 (1) △ABE と直線 CD について,メネラウスの定理から A BP EC AD =1 ・ ・ PE CA DB 4 BP 2 4 すなわち ・ ・ =1 PE 5 3 D よって,BP:PE=15:8 であるから 3 8AB + 15AE 1 3 = AP= 8b +15 ・ c 15 + 8 23 5 8 9 B b E 5 P 2 C E 2 F 5 2 B 5b + 2d 3 2 2b + 5d1 - b= 0 5 7 35 EC=AC-AE= 0 b + d 1 - (別解) 点 Q は辺 BC 上にあるから,③ より E 3 5AB + 2AD 5b + 2d = 2+5 7 よって EF=AF-AE= d A 3 3 AB= b 5 5 AC=AB+BC= b + d このことを利用すると,③ から直ちに k の値を求めることができる。 BC の交点を Q とする。 解説 解説 AB= b,AD= d とすると 9 8 9 を ④ に代入して AQ= b+ c 17 17 17 4 CD,BE の交点を P とする。また,AP の延長と辺 C Q 内分する点を F とする。このとき,3 点 E,F,C は一直線上にあることを証明せよ。 点 P 0p1 が 2 点 A 0a1 ,B 0b1 を通る直線上にある A 2 平行四辺形 ABCD において,辺 AB を 3:2 に内分する点を E,対角線 BD を 2:5 に u 1 後の項目 「ベクトル方程式」 で次のことを学習する。 辺 AC を 3:2 に内分する点を E とし,2 つの線分 8AB + 9AC 8 9 = b+ c 9+8 17 17 3 8 9 8 9 b+ c = kb + kc …… ③ 23 23 23 23 8 9 kb + kc = 0 1 - u1 b + uc 23 23 8 9 b' 0,c' 0 で,b と c は平行でないから k=1- u, k= u 23 23 23 9 これを解いて k= ,u = 17 17 △ABC において,辺 AB を 4:3 に内分する点を D, AQ= E 3 15 14 ,t = 23 23 ③,④ から =3:4:5 (2) AQ を b,c で表せ。 C 3 D よって,BQ:QC=9:8 であるから c (2) AQ= kAP (k は実数) とすると BQ:QC= u:0 1 - u1 とすると AQ= 0 1 - u1 b + uc …… ④ 1 1 5 5 S: S + S : S 4 8 24 12 4 BQ 2 4 ・ ・ =1 QC 3 3 15 8 9 を ① に代入して AP= b+ c 23 23 23 2 1 2 5 S, ゆえに △PAB= △ABD= S,△PCA= △ADC= 3 4 3 12 1 1 1 5 △ABD= S,△PDC= △ADC= S 3 8 3 24 A 4 3 t, s =1- t 7 5 AQ= k ゆえに △PAB:△PBC:△PCA= 2 BQ CE AD =1 ・ ・ QC EA DB B 3 5 (2) △ABC の面積を S とすると △ABD= S,△ADC= S 8 8 △PBD= すなわち t Q よって 7s +4t =7,3s +5t =5 これを解いて s = P よって AP:PD=2:1 1- s s B b' 0,c' 0 で,b と c は平行でないから 1- s = 2 AD 3 E P 8 9 b+ c 23 23 (2) チェバの定理から 3 4 ①,② から 0 1 - s1 b + sc = tb + 0 1 - t1 c 5 7 5AB + 3AC とおくと,点 D は線分 8 BC を 3:5 に内分する点であり AP= 1- t b 4 = tb + 0 1 - t1 c …… ② 7 (1) 等式から -4AP+50AB -AP 1 +30AC -AP 1 =0 3 D AP= tAD+ 0 1 - t1 AC 解説 ゆえに AP= = 4 AP= 0 1 - s1 AB+ sAE (1) 点 P の位置をいえ。 ここで,AD= A すると 3 2b + 5d b= 5 5 2 EC であるから,3 点 E,F,C は一直線上にある。 7 C D 4 5 これを解いて t = 1 7 4 1 ,k= したがって OC= a+ b 5 15 15 5 △ABC と点 P に対して,等式 5AP+4BP+3CP=0 が成り立つとき,次の問いに答え △OAB において,OA= a,OB= b とする。 よ。 (1) 辺 OA を 3:2 に内分する点を C,辺 OB を 3:4 に内分する点を D とし,線分 (1) 点 P の位置をいえ。 AD と BC との交点を P とする。このとき,OP を a,b で表せ。 (2) 面積比 △PBC:△PCA:△PAB を求めよ。 (2) 辺 OA を 1:2 に内分する点を P,辺 AB を 3:4 に内分する点を Q とし,線分 OQ ゆえに QC = 8 よって OC:CQ=7:8 CO 7 と BP の交点を C とする。このとき,OC を a,b で表せ。 7 7 4a + 3b 4 1 したがって OC= OQ= a+ b = ・ 15 15 15 5 3 +4 解説 (1) 与えられた等式から 5AP+40 AP -AB 1 +30 AP -AC 1 =0 A OP= 0 1 - s 1OA+ sOD = 0 1 - s1 a + 7 4AB + 3AC 7 =AQ とおくと AP= AQ 7 12 OP= tOC+ 0 1 - t 1OB = P よって BQ:QC=3:4,AP:PQ=7:5 したがって,辺 BC を 3:4 に内分する点を Q とする と,点 P は線分 AQ を 7:5 に内分する点である。 よって 0 1 - s1 a + 5 B 3 Q 4 C C 2 b a A 3 Q 4 B これを解いて s = よって,△PBQ=3S とすると △PCQ=4S ゆえに △PBC=3S +4S =7S O 3 sb, 7 3 ta + 0 1 - t1 b 5 3 3 sb = ta + 0 1 - t1 b 7 5 a ' 0 ,b ' 0 ,aTb であるから 1 - s = (2) △PBQ:△PCQ=BQ:QC=3:4 △PBQ:△PAB=5:7 であるから △PAB= P (1) AP:PD=s:0 1 - s1 ,BP:PC=t:0 1 - t1 とすると 4AB + 3AC 7 4AB + 3AC = ・ 12 12 7 △PCQ:△PCA=5:7 であるから △PCA= 1 AB QC OP 7 QC 1 より =1 よって ・ ・ ・ ・ =1 BQ CO PA 4 CO 2 解説 よって 12AP=4AB+3AC ゆえに AP= O t △OAQ と直線 BP について,メネラウスの定理に 1-t 3 3 D C a 2 4 1-s b t B s P A 3 3 t, s = 1 - t 5 7 分する点を R とする。 (1) 3 点 P,Q,R は一直線上にあることを証明せよ。 7 10 6 3 ,t = したがって OP= a+ b 13 13 13 13 (2) PQ:QR を求めよ。 t OP の延長と辺 AB の交点を Q とすると, 7 28 S ・ 4S = 5 5 △OAB において,チェバの定理により 7 21 S ・ 3S = 5 5 28 21 したがって △PBC:△PCA:△PAB=7S: S: S =5:4:3 5 5 O 3 AQ BD OC AQ 4 3 =1 よって ・ ・ ・ ・ =1 QB DO CA QB 3 2 ゆえに AQ 1 = よって AQ:QB=1:2 QB 2 C a A 2 解説 3 D 4 b P (1) AB= b,AC= c とすると B Q △OAQ と直線 CB について,メネラウスの定理により AB QP OC 3 QP 3 =1 よって ・ ・ ・ ・ =1 BQ PO CA 2 PO 2 ゆえに QP 4 = よって OP:PQ=9:4 PO 9 したがって OP= 9 9 2a + b 6 3 OQ= a+ b = ・ 13 13 1 + 2 13 13 (2) PC:CB= t:0 1 - t 1 とすると OC= 0 1 - t 1OP+ tOB= 1 P t 1-t 4 3 a + tb = ka + kb 7 7 3 a ' 0 ,b ' 0 ,aTb であるから 1-t 4 3 = k,t = k 7 7 3 3 1 1 AC= c 2 2 AR= 1 1 AB= b 3 3 Q 4 b B R 2 B よって PQ=AQ-AP= 1 2b - 3c c - 0-b +2c1 = 2 2 PR=AR-AP= 1 2 2b - 3c1 b - 0-b +2c 1 = 0 3 3 4 PQ …… ① 3 (2) ① から PQ:QR=3:1 1 -t a A AQ= したがって,3 点 P,Q,R は一直線上にある。 C 2 4 3 4OA + 3OB = ka + kb OC= k・ 7 7 3+4 A -AB + 2AC =-b +2c AP= 2 -1 ゆえに PR= O 1 -t a + tb 3 OC= kOQ (k は実数) とおけるから よって 6 △ABC で,辺 BC を 2:1 に外分する点を P,辺 CA の中点を Q,辺 AB を 1:2 に内 1 Q C 2 1 P
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