建築基礎数学７月９日学籍番号氏名解答例Ｈより濃い鉛筆（F，HB,B）で書いてください問次の行列の固有値と固有ベクトルを求めよ． (1) ⎛ 3 5⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 4 2⎠ 特性方程式は， ⎛5 4⎞ ⎜ ⎟ ⎝1 2⎠ (2) 3−λ 4 5 =0 2−λ すなわち特性方程式は， 5−λ 1 4 =0 2−λ (3 − λ )(2 − λ ) − 5 × 4 = 0 (5－λ) (2－λ) －4×1＝0 6 − 2λ − 3λ + λ − 20 = 0 10－2λ－5λ+λ2－4＝0 λ 2 − 5λ − 14 = 0 (λ + 2)(λ − 7) = 0 ∴ λ1 = 7, λ2 = −2 λ2－7λ+6＝0 2 ゆえに，固有値は λ1 =7, λ2 =－2 であり， λ1 = 7のとき ⎧−4 x1 + 5 x2 ⎨ ⎩ 4 x1 − 5 x2 =0 =0 4 c1 5 だから固有ベクトル u は x1 = c1とおくとx2 = ⎛ c1 ⎞ ⎛1⎞ ⎜ ⎟ u= 4 =c ⎜ ⎟ ⎜⎜ c1 ⎟⎟ 1 ⎜⎜ 4 ⎟⎟ ⎝5 ⎠ ⎝5⎠ 4 ⎛ ⎞ ⎜ または,1: 5 = 5 : 4だから⎟ ⎜ ⎟ ⎛5⎞ ⎜ ⎟ ⎜ u = c1 ⎜ 4 ⎟ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ λ2 = −2のとき ⎧ 5 x1 + 5 x2 ⎨ ⎩4 x1 + 4 x2 =0 =0 x1 = c2とおくとx2 = −c2 だから固有ベクトル u は ⎛ c ⎞ ⎛1⎞ u = ⎜ 2 ⎟ = c2 ⎜ ⎟ ⎝ −1 ⎠ ⎝ −c2 ⎠ すなわち (λ－6) (λ－1)＝0 ゆえに，固有値はλ1 = 1, λ2 = 6であり， ⎧4 x1 + 4 x2 = 0 ⎨ ⎩ x1 + x2 = 0 ⎧− x1 + 4 x2 = 0 ⎨ ⎩ x1 − 4 x2 = 0 を解いて，λ1 に属する固有ベクトルおよびλ2 に属する固有ベクトルは，それぞれ ⎛ 1⎞ u1 = c1 ⎜ ⎟ c1 ≠ 0 ⎝ −1 ⎠ ⎛1 ⎞ u 2 = c2 ⎜ 1 ⎟ c2 ≠ 0 ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝4⎠ 1 ⎛ ⎞ ⎜ または,1: 4 = 4 :1だから⎟ ⎜ ⎟ ⎛ 4⎞ ⎜ ⎟ ⎜ u = c2 ⎜ 1 ⎟ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ となる．建築基礎数学 (3) ７月９日 ⎛1 0 1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 1 2 −1⎟ ⎜ −2 −2 3 ⎟ ⎝ ⎠ 1− λ 0 1 特性方程式は， 1 2 − λ −1 = 0 −2 −2 3 − λ (1－λ) (2－λ) (3－λ)＋1×(-2)×1＋0×(－1)×(－2)－1×(2－λ)×(－2) －(3－λ) ×0×1－ (1－λ) ×(－1)×(－2)＝0 (1－λ) (2－λ) (3－λ)－2＋2(2－λ) －2 (1－λ) ＝0 (1－λ) (2－λ) (3－λ)－2＋4－2λ －2 ＋2λ ＝0 (1－λ) (2－λ) (3－λ)＝0 ゆえに，固有値はλ1 =1, λ2 =2, λ3 =3であり，次の連立方程式（不定）を解いて， ⎧ ⎪ ⎨ x1 ⎪ −2 x 1 ⎩ ⎧ − x1 ⎪ ⎨ x1 ⎪ −2 x 1 ⎩ − x 2 ⎧ 1 ⎪ x ⎨ 1 ⎪ −2 x 1 ⎩ + x2 x3 − x3 = 0 = 0 −2 x2 +2 x3 = 0 −2 x2 − x2 −2 x2 + x3 − x3 = 0 = 0 + x3 = 0 + x3 = 0 − x3 = 0 = 0 ⎧ ⎪ ⇒ ⎨ x1 ⎪ −2 x 1 ⎩ ⎧ ⎪ ⇒ ⎨ x1 ⎪ −2 x 1 ⎩ ⎧−2 x1 ⎪ ⇒ ⎨ − x1 ⎪ −2 x 1 ⎩ + x2 −2 x2 −2 x2 − x2 = 0 = 0 x2 = c1とおくとx1 = −c1 1 x3 = c2とおくとx1 = c2 , x2 = − c2 2 − x3 = 0 + x3 = 0 + x3 = 0 − x3 = 0 x1 = c3とおくとx1 = 2c3 , x2 = −c3 −2 x2 = 0 λ1, λ2 およびλ3 に属する固有ベクトル，それぞれ ⎛ −1⎞ ⎜ ⎟ u1 = c1 ⎜ 1 ⎟ ,　c1 ≠ 0, ⎜ 0⎟ ⎝ ⎠ となる． ⎛ 1⎞ ⎜ ⎟ 1 u 2 = c2 ⎜ − ⎟ ,　c2 ≠ 0, ⎜ 2⎟ ⎜ 1⎟ ⎝ ⎠ ⎛ 1⎞ ⎜ ⎟ u3 = c3 ⎜ − 1 ⎟ ,　c3 ≠ 0 ⎜ 2⎟ ⎝ ⎠